[论文解读] Repeated games for eikonal equations, integral curvature flows and non-linear parabolic integro-differential equations

Cyril Imbert, Sylvia Serfaty|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过离散确定性控制解释，将零和重复博弈引入非局部演化方程的近似，包括积分曲率流和完全非线性抛物型积分微分方程（PIDEs）。利用稳定性、单调性和一致性论证，建立了博弈价值函数向粘性解的收敛性，将先前关于局部哈密顿-雅可比方程的结果扩展至具有奇异积分算子的非局部设置。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to approximate several non-local evolution equations by zero-sum repeated games in the spirit of the previous works of Kohn and the second author (2006 and 2009): general fully non-linear parabolic integro-differential equations on the one hand, and the integral curvature flow of an interface (Imbert, 2008) on the other hand. In order to do so, we start by constructing such a game for eikonal equations whose speed has a non-constant sign. This provides a (discrete) deterministic control interpretation of these evolution equations. In all our games, two players choose positions successively, and their final payoff is determined by their positions and additional parameters of choice. Because of the non-locality of the problems approximated, by contrast with local problems, their choices have to "collect" information far from their current position. For integral curvature flows, players choose hypersurfaces in the whole space and positions on these hypersurfaces. For parabolic integro-differential equations, players choose smooth functions on the whole space.

研究动机与目标

• 将几何和非局部PDE的确定性控制解释从局部哈密顿-雅可比方程扩展至更广泛的情形。
• 构建零和重复博弈，以近似具有奇异积分项的完全非线性抛物型积分微分方程。
• 为积分曲率流提供一种博弈论框架，其非局部性源于对界面形状的全局依赖。
• 利用Barles-Souganidis框架，建立博弈价值函数向粘性解的收敛性。
• 为一大类非局部演化方程提供一种新的极小极大公式，支持数值格式并可能带来定性洞察。

提出的方法

• 为具有非恒定符号速度的eikonal方程构建重复博弈，通过离散玩家选择来近似解作为价值函数。
• 为积分曲率流引入一种博弈，其中玩家选择超曲面及其上的位置，收集全局信息以模拟非局部速度。
• 通过让玩家在全空间选择光滑函数，设计一种用于一般PIDEs的博弈，从而实现对非局部项的近似。
• 利用水平集方法和粘性解理论定义几何演化，并确保问题的适定性。
• 通过验证博弈方案的一致性、单调性和稳定性，应用Barles-Souganidis收敛方法。
• 利用动态规划原理和终端条件估计，证明博弈价值函数收敛至目标解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建重复博弈以近似具有奇异积分算子的非局部抛物型积分微分方程？
• RQ2 如何将博弈论解释扩展至依赖于界面形状全局信息的积分曲率流？
• RQ3 所提出的重复博弈的价值函数是否收敛至目标PDE的粘性解？
• RQ4 该框架能否超越局部方程，扩展至包含非恒定符号速度的非局部、完全非线性PDE？
• RQ5 哪些是最小化的博弈规则，能够将Paul-Carol博弈推广至非局部设置？

主要发现

• 当步长 ε → 0 时，博弈价值函数收敛至目标非局部PDE的粘性解。
• 收敛性通过Barles-Souganidis框架建立，依赖于博弈方案的一致性、单调性和稳定性。
• 对于积分曲率流，博弈要求玩家选择整个超曲面及其上的位置，反映了对全局界面的非局部依赖。
• 该方法为一大类非局部演化方程提供了确定性控制解释，扩展了先前关于局部哈密顿-雅可比方程的研究结果。
• 终端条件以 O(T−t) 的误差界满足，确保与时间终点状态的一致性。
• 证明依赖于反证法和涉及非局部曲率算子的估计，表明偏离预期行为将导致博弈动态中的不一致。