[论文解读] Replicating of binary operads, Koszul duality, Manin products and average operators

Jun Pei, Chengming Bai+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文提出了一种通用的范畴论框架，通过复制器（duplicators）与三重化器（triplicators）复制二元代数结构，表明其在二元二次范畴中与后继（successors）构成Koszul对偶，并等价于与Perm或ComTriass的Manin白色积。研究证明平均算子（average operators）可诱导这些复制器，从而将双 associative、三 associative 及 dendriform 代数等构造统一于单一范畴机制之下。

ABSTRACT

We consider the notions of the replicators, including the duplicator and triplicator, of a binary operad. As in the closely related notions of di-Var-algebra and tri-Var-algebra in [14], they provide a general operadic definition for the recent constructions of replicating the operations of algebraic structures. We show that taking replicators is in Koszul dual to taking successors in [3] for binary quadratic operads and is equivalent to taking the white product with certain operads such as Perm. We also relate the replicators to the actions of average operators.

研究动机与目标

• 为二元代数结构中操作复制提供一个通用的范畴定义，扩展已知的双 associative 与三 associative 代数等构造。
• 建立在二元二次范畴中，复制器（复制器/三重化器）与后继构造之间的对偶关系，特别是通过Koszul对偶实现。
• 将复制器构造与Manin白色积联系起来，证明其与Perm和ComTriass范畴的白色积等价。
• 将复制器与平均算子联系起来，证明三重平均算子可通过特定操作定义诱导出三重化器代数。
• 在单一范畴框架内统一并推广现有结构，如双 Var-代数、三 Var-代数及 dendriform 类型代数。

提出的方法

• 通过带标签的平面二叉树上的操作定义复制器与三重化器，推广代数结构中操作的复制机制。
• 将复制器与三重化器范畴构造为自由范畴的商，关系来源于原始范畴与树复制规则。
• 利用Koszul对偶性，证明二元二次范畴的复制器是其对偶范畴后继构造的Koszul对偶。
• 建立复制器范畴与原始范畴和Perm（复制器）或ComTriass（三重化器）的白色积之间的同构关系。
• 定义平均算子（双平均与三重平均），并证明其作用可诱导从复制器范畴到代数结构的范畴态射，通过一个保持关系的映射η实现。
• 证明映射η诱导出良定义的范畴态射，通过验证复制器范畴中的关系映射至原始关系与平均算子公理生成的理想中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在二元范畴中，通过通用范畴框架形式化代数结构中操作复制的概念？
• RQ2 复制器构造（复制器/三重化器）与二元二次范畴中后继构造之间，其Koszul对偶关系为何？
• RQ3 复制器如何与Manin白色积关联？该关联能否用于表征双 associative 或三 associative 代数等已知代数？
• RQ4 平均算子（双平均与三重平均）以何种方式在给定代数上诱导出复制器代数的结构？
• RQ5 复制器构造是否等价于先前工作中引入的双 Var-代数与三 Var-代数概念？在何种条件下成立？

主要发现

• 在二元范畴中，复制器与三重化器构造是其对偶范畴中后继构造的Koszul对偶，确立了范畴框架中的基本对偶关系。
• 二元二次范畴的复制器同构于该范畴与Perm范畴的白色积，三重化器同构于该范畴与ComTriass范畴的白色积。
• 从复制器范畴到代数结构的映射η诱导出良定义的范畴态射，证明平均算子可生成复制器代数。
• 对于任意P-代数A，若其具有权为1的三重平均算子P，定义运算 x ·j y = x∘jP(y)，x ⊣j y = P(x)∘jy，x ⊢j y = x∘jy，则A成为Tdu(P)-代数。
• 该构造推广了已知代数：在结合代数上定义三重平均算子可得到结合三重代数，在李代数上则得到三重Leibniz代数。
• 该框架统一了各类范畴（包括李、交换与 pre-Lie）中的双与三重类型代数，表明复制器提供了一种操作复制的通用机制。