[论文解读] Représentations galoisiennes automorphes et conséquences arithmétiques des conjectures de Langlands et Arthur

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 96被引用 8

一句话总结

加埃兰·舍内维耶的 habilitation 论文深入探讨了自守伽罗瓦表示与兰兰兹及阿瑟猜想的算术后果之间的深刻联系。论文引入了‘无限蕨’——即 Gal(ϵ/Q) 的 p 进特征簇中的分形状子集——以研究自守伽罗瓦表示的扎里斯基闭包，从而在正交/辛性选择、极化表示的符号以及低权情形伽罗瓦表示的构造方面取得了新结果。

ABSTRACT

This is the memoir of my habilitation thesis, defended on March 29 th, 2013 (Université Paris XI).

研究动机与目标

• 理解 Gal(ϵ/Q) 的 p 进特征簇中自守伽罗瓦表示的结构及其扎里斯基闭包。
• 确立兰兰兹与阿瑟猜想的算术后果，特别是针对低导子动机与无瑕扩张的情形。
• 利用自守方法在非正则权情形下构造伽罗瓦表示，并确定其辛性/正交性。
• 探讨 p 进解析空间与伪表示在伽罗瓦表示变形理论中的作用。
• 将自守形式理论与内形理论应用于类域论与克内泽邻近理论中的问题。

提出的方法

• 在 Gal(ϵ/Q) 的 p 进特征簇中构造‘无限蕨’，作为自守伽罗瓦表示的参数化集合，其形态类似分形。
• 利用 p 进解析几何与伪表示研究伽罗瓦表示的变形空间。
• 应用 GL(n) 与酉群上的自守形式理论，在低权情形下构造伽罗瓦表示。
• 借助局部兰兰兹对应与基本引理分析局部伽罗瓦表示及其晶体类比。
• 利用克内泽邻近理论与单模格理论枚举并分类某些算术对象。
• 通过自守手段应用 Bloch-Kato 猜想，构造具有指定性质的伽罗瓦扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 自守伽罗瓦表示集合在 Gal(ϵ/Q) 的 p 进特征簇中的扎里斯基闭包是什么？
• RQ2 如何确定在全实域上本质上自对偶伽罗瓦表示的辛性或正交性？
• RQ3 阿瑟-兰兰兹猜想对导子为 1 的动机与无瑕扩张有何算术后果？
• RQ4 能否利用自守方法在非正则权情形下构造伽罗瓦表示？
• RQ5 在有限个素数外的极大无瑕扩张的伽罗瓦群结构如何？

主要发现

• 无限蕨为自守伽罗瓦表示在 p 进特征簇中的扎里斯基闭包提供了一个几何模型。
• 论文确立了在全实域上本质上自对偶自守伽罗瓦表示的辛性/正交性选择。
• 通过无限蕨构造，确定了在 CM 域上极化自守伽罗瓦表示的符号。
• 作者利用自守提升技术在低权情形（包括非正则权）下构造了伽罗瓦表示。
• 该理论实现了对秩不超过 24 的单模格的克内泽邻近分类，并应用于哈勒尔与内贝-文科夫猜想。
• 论文提出了对 Q 上导子为 1 的纯极化动机在小秩情形下的猜想性枚举，其结果由自守形式计算支持。