[论文解读] Representation of Polytopes as Polynomial Zonotopes

Niklas Kochdumper, Matthias Althoff|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出Z-表示法，一种新颖的方法，可将任意有界多面体表示为多项式 zonotope，从而实现线性变换、Minkowski 和与凸包的多项式时间计算。该表示法在某些多面体上比 V- 和 H- 表示法更紧凑，并且通过避免使用轴对齐区间对定义域进行过度近似，实现了对非线性函数更紧致的范围界定。

ABSTRACT

We prove that each bounded polytope can be represented as a polynomial zonotope, which we refer to as the Z-representation of polytopes. Previous representations are the vertex representation (V-representation) and the halfspace representation (H-representation). Depending on the polytope, the Z-representation can be more compact than the V-representation and the H-representation. In addition, the Z-representation enables the computation of linear maps, Minkowski addition, and convex hull with a computational complexity that is polynomial in the representation size. The usefulness of the new representation is demonstrated by range bounding within polytopes.

研究动机与目标

• 开发一种新的有界多面体表示方法，支持对线性变换、Minkowski 和与凸包等关键运算的高效计算。
• 证明对于特定类别的多面体，Z-表示法比传统的 V- 和 H- 表示法更紧凑。
• 通过避免使用轴对齐区间对定义域进行过度近似，实现对非线性函数更紧致的范围界定。
• 提供 Z-表示法与 V-表示法之间转换的算法，并分析其计算复杂度。

提出的方法

• Z-表示法通过多项式 zonotope 的稀疏表示，将有界多面体表示为多项式 zonotope。
• 该方法利用多项式 zonotope 的代数结构，通过生成矩阵和指数向量表示多面体。
• 线性变换、Minkowski 和与凸包通过矩阵运算和多项式算术计算，确保在表示规模上的多项式时间复杂度。
• 从 V-表示法到 Z-表示法的转换在顶点数量上为多项式时间；从 Z-表示法到 V-表示法的转换在生成元数量上为指数时间。
• 通过直接对 Z-表示的多面体应用类似泰勒模型的技术，实现范围界定，避免了区间过度近似。
• 该方法利用多面体与多项式之间的相互作用，基于牛顿多面体和 Ehrhart 多项式，实现高效且紧凑的集合表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有界多面体是否都能表示为多项式 zonotope？
• RQ2 对于某些多面体，Z-表示法是否比 V- 和 H- 表示法更紧凑？
• RQ3 使用 Z-表示法是否能以多项式时间计算线性变换、Minkowski 和与凸包等运算？
• RQ4 与区间法或泰勒模型方法相比，Z-表示法是否能实现对非线性函数更紧致的范围界定？
• RQ5 在 Z-表示法与其他多面体表示法之间转换的计算复杂度是多少？

主要发现

• 每个有界多面体都可以精确表示为多项式 zonotope，确立了 Z-表示法作为通用多面体表示法的地位。
• 线性变换、Minkowski 和与凸包的计算复杂度在 Z-表示法规模上为多项式时间，而 V- 和 H- 表示法中则为 NP-难或指数时间。
• 对于具有大量生成元的高维 zonotope，即使采用 V- 和 H- 表示法的下界，Z-表示法仍能实现最小的表示复杂度。
• 在范围界定中，Z-表示法得到的范围为 [−14.888, 1.4097]，非常接近精确范围 [−14.8872, 1.4094]，优于区间算术 ([−25.25, 4]) 和基于区间过度近似的泰勒模型 ([−19.7365, 2.3049])。
• 从 V-表示法到 Z-表示法的转换在顶点数量上为多项式时间，而从 Z-表示法到 V-表示法的转换在生成元数量上为指数时间。