[论文解读] Representation theories of some towers of algebras related to the symmetric groups and their Hecke algebras

Florent Hivert, Thiéry, Nicolas M.|ArXiv.org|Jul 17, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文研究了与对称群及其 Hecke 代数相关的三类代数的表示理论：由对换和排序算子生成的代数、非减函数的半群代数，以及非减停车函数的半群代数。文章明确描述了单模和投射模的结构，计算了 Cartan 映射，并在诱导与限制操作下识别了格罗滕迪克代数与余代数，从而为 quasi-对称函数与非交换对称函数提供了新解释，并引入了新的基底。

ABSTRACT

We study the representation theory of three towers of algebras which are related to the symmetric groups and their Hecke algebras. The first one is constructed as the algebras generated simultaneously by the elementary transpositions and the elementary sorting operators acting on permutations. The two others are the monoid algebras of nondecreasing functions and nondecreasing parking functions. For these three towers, we describe the structure of simple and indecomposable projective modules, together with the Cartan map. The Grothendieck algebras and coalgebras given respectively by the induction product and the restriction coproduct are also given explicitly. This yields some new interpretations of the classical bases of quasi-symmetric and noncommutative symmetric functions as well as some new bases.

研究动机与目标

• 研究与对称群及其 Hecke 代数相关的三类代数的表示理论。
• 描述这些代数的单模与不可约投射模的结构。
• 计算 Cartan 映射以及在诱导与限制下的格罗滕迪克代数。
• 为 quasi-对称函数与非交换对称函数中的经典基底提供新解释。
• 在这些代数的背景下引入新的基底。

提出的方法

• 本文构建了三类代数塔：一类由初等对换和排序算子生成，一类由非减函数生成，一类由非减停车函数生成。
• 利用模论技术（包括投射模与单模）分析每类代数的表示理论。
• 显式计算了 Cartan 不变量矩阵，揭示了其与布尔格和 Gelfand-Tsetlin 格之间的联系。
• 通过诱导与限制运算推导出格罗滕迪克代数与余代数结构，并给出了乘法与余乘法的显式公式。
• 建立了非减停车函数代数模其根基的商同构于 0-Hecke 代数的同构关系。
• 通过子集上的外幂与格序结构描述了投射模的结构，从而导出了与格拉斯曼格同构的分解同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 由对换与排序算子生成的代数的表示理论与对称群及其 Hecke 代数的表示理论有何异同？
• RQ2 非减函数半群代数的单模与投射模具有怎样的结构？
• RQ3 三类代数塔的格罗滕迪克环如何与 quasi-对称函数与非交换对称函数的经典基底相关联？
• RQ4 这些代数塔中的格罗滕迪克代数与余代数结构会引出哪些新基底？
• RQ5 非减停车函数代数中模的限制与诱导规则与 0-Hecke 代数中的规则有何比较？

主要发现

• 证明了代数 ${\operatorname{H\mathfrak{S}}_{n}}$ 同构于 0-Hecke 代数 ${\operatorname{H}_{n}}(0)$，且二者具有相同的单模。
• 非减停车函数代数有 $2^{n-1}$ 个一维单模 $S_I$，由 compositions $I$ 索引，其作用由下降集决定。
• 非减停车函数代数的投射模 $P_I$ 是不可约的，由 compositions 索引，且在 $\mathbb{C}^n$ 的外幂中有几何实现。
• 非减停车函数代数的 Cartan 映射 $C$ 由公式 $C(P_I) = \sum_{J: \operatorname{Des}(J) \leq_G \operatorname{Des}(I)} S_J$ 给出，其中 $\leq_G$ 为子集上的 Gelfand-Tsetlin 序。
• 非减停车函数代数的格罗滕迪克代数同构于非交换对称函数代数 $\operatorname{NCSF}$，其余代数结构对应于 $\operatorname{QSym}$ 中的余乘法。
• 通过单模的诱导定义了 $\operatorname{NCSF}$ 的新基底 $G_I$，并通过投射模的 Cartan 像得到了 $\operatorname{NCSF}$ 的另一新基底 $R_I$。