[论文解读] Representation theory for categorical symmetries

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用 13

一句话总结

本文发展了高管道范畴和代数，以描述高阶融合范畴对在 D≥2 的量子场论中的扩展算符的作用，将管表示与通过 sandwich 构造的 Drinfeld center 联系起来，并给出显式的三维示例。

ABSTRACT

This paper addresses the question of how categorical symmetries act on extended operators in quantum field theory. Building on recent results in two dimensions, we introduce higher tube categories and algebras associated to higher fusion category symmetries. We show that twisted sector extended operators transform in higher representations of higher tube algebras and interpret this result from the perspective of the sandwich construction of finite symmetries via the Drinfeld center. Focusing on three dimensions, we discuss a variety of examples to illustrate the general constructions. In the case of invertible symmetries, we show that higher tube algebras are higher analogues of twisted Drinfeld doubles of finite groups, generalising known constructions in two dimensions. Building on this foundation, we discuss non-invertible Ising-like symmetry categories obtained by gauging finite subgroups. We also consider non-invertible topological symmetry lines described by braided fusion categories and discuss connections to the Müger center and braided module categories.

研究动机与目标

• 动机化并形式化球对称性（D-1）范畴对称性在 D≥2 的量子场论中如何作用于 twisted sector 与扩展算符。
• 引入高管道范畴和高管道代数，编码这些对称性对 n-twisted sector 算符的作用。
• 建立管表示与通过 sandwich 构造的范畴中心之间的对应关系。
• 提供具体的三维示例，包括可逆与非可逆对称性情形，并与 braiding 范畴和 Müger 中心相关。

提出的方法

• 将高管道范畴 T_{S^d}(C) 定义为编码拓扑对称缺陷对 n-twisted sector 算符的作用的 n-范畴。
• 引入由管范畴态射生成的高管道代数 A_{S^d}(C)，并给出 [T_{S^d}(C), nVec] ≅ Rep(A_{S^d}(C))。
• 将管表示与 sandwich 构造联系起来，通过 Drinfeld centers 和 looping 将 [T_{S^d}(C), nVec] 与 TV_C(S^d) 及 Z(C) 连接起来。
• 专门讨论 D=3 的情形，给出对 1-twisted 与 2-twisted sector 算符的作用的显式构造。
• 讨论具有异常有限 2-组对称性、类似 Ising 的非可逆情形，以及通过 Müger 中心及 braiding 模块关联的 braiding 融合范畴实例。
• 解释可逆情形下的 twisted Drinfeld doubles 的高维推广，并概述对非可逆高阶对称性的扩展。

Figure 2:

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶融合范畴（范畴）对称性在 D≥2 的量子场论中如何作用于 twisted sector 与扩展算符？
• RQ2 哪些合适的高管道范畴和高管道代数能够捕捉这些作用，它们的表示如何与已知的中心或对偶结构相关？
• RQ3 sandwich 构造如何推广到高维和非可逆对称性，在此情境下 Drinfeld center 的作用是什么？
• RQ4 有哪些具体的三维示例能够说明可逆与非可逆对称性的管表示结构，包括 Ising 风格和 braiding 情况？
• RQ5 在存在 braiding 融合范畴时，高管道表示如何与 braiding 模块范畴和 Müger 中心相连？

主要发现

• 在 D=2 的融合范畴 C 的管表示等价于对 A(C) 的表示，并重现 Drinfeld center Z(C)。
• 在 D=3 中，对 1-twisted sector 算符的作用由管范畴 T_{S^2}(C) 捕获，其表示对应 Drinfeld center 的 looping Ω Z(C)。
• 高管道范畴 T_{S^d}(C) 与高管道代数 A_{S^d}(C) 为在 D≥2 情况下表示非可逆与可逆对称性的统一框架提供支持，其中 [T_{S^d}(C), nVec] ≅ Rep(A_{S^d}(C))。
• sandwich 构造推广至高范畴对称性，将管表示与 TV_C 的 bulk 拓扑缺陷及其与 S^d 相连的缺陷连接起来。
• 可逆情形将 twisted Drinfeld doubles 推广到高维情形，而非可逆示例（如 Ising 风格）来自对有限子群的 gauging，并与 braiding 结构和 Müger 中心相关。
• 该框架包含 braiding 融合范畴与 braiding 模块范畴，连接到 Müger 中心及高维的广义中心。

Figure 3: