[论文解读] Representation Theory of an Infinite Quiver

R. Bautista, Shiping Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文为具有任意两顶点间路径有限的无限quiver的有限表示范畴发展了Auslander-Reiten理论。它构造了几乎分裂序列，对Auslander-Reiten分支进行了分类——证明当且仅当quiver不是有限或无限Dynkin型时，存在无穷多个正则分支——并将结果推广至导出范畴，证明几乎分裂三角形存在的充要条件是quiver中不存在无限路径。

ABSTRACT

This paper deals with the representation theory of a locally finite quiver in which the number of paths between any two given vertices is finite. We first study some properties of the finitely presented or co-presented representations, and then construct in the category of locally finite dimensional representations some almost split sequences which start with a finitely co-presented representation and end with a finitely presented representation. Furthermore, we obtain a general description of the shapes of the Auslander-Reiten components of the category of finitely presented representations and prove that the number of regular Auslander-Reiten components is infinite if and only if the quiver is not of finite or infinite Dynkin type. In the infinite Dynkin case, we shall give a complete list of the indecomposable representations and an explicit description of the Auslander-Reiten components. Finally, we apply these results to study the Auslander-Reiten theory in the derived category of bounded complexes of finitely presented representations.

研究动机与目标

• 在任意两顶点间路径有限的无限quiver的有限表示范畴中发展Auslander-Reiten理论。
• 刻画该范畴中Auslander-Reiten分支的结构，特别是预投影、预注入和正则分支。
• 将理论推广至有限表示范畴的有界导出范畴，并确定几乎分裂三角形存在的条件。
• 对无限Dynkin型A∞、A∞∞和D∞中的不可约表示及几乎分裂序列提供完整分类。
• 建立有限表示范畴中左和右几乎分裂序列存在的必要与充分条件。

提出的方法

• 引入几乎有限表示和共表示作为有限表示/共表示的推广，使用组合刻画方法。
• 在局部有限维表示范畴中构造几乎分裂序列，起点为有限共表示，终点为有限表示。
• 应用Krull-Schmidt性质分析有限表示范畴的Auslander-Reitenquiver，将其分解为预投影、预注入和正则分支。
• 利用子quiver和射quiver的结构，将无限quiver的表示与有限子quiver的表示联系起来。
• 应用移位quiver技巧和连接分支的概念，描述导出范畴中Auslander-Reitenquiver的形状。
• 采用有限表示范畴的有界复形的导出范畴，分析τ和τ⁻¹函子的行为，以确定几乎分裂三角形的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限quiver的有限表示范畴中存在左或右几乎分裂序列？
• RQ2 有限表示范畴的Auslander-Reitenquiver结构如何，特别是正则分支的形状与数量？
• RQ3 在何种条件下，有限表示范畴的有界复形的导出范畴中存在几乎分裂三角形？
• RQ4 导出范畴的Auslander-Reiten分支与原始范畴的分支有何关系？
• RQ5 在无限Dynkin型A∞、A∞∞和D∞中，不可约表示的完整分类是什么？

主要发现

• 正则Auslander-Reiten分支的数量为无穷，当且仅当quiver不是有限或无限Dynkin型。
• 在无限Dynkin情形（A∞、A∞∞、D∞）中，给出了不可约表示的完整列表，并提供了不可约态射和几乎分裂序列的显式描述。
• 导出范畴的连接分支CQ嵌入于ZQ^op中，其形状由路径结构决定：若Q无无限路径，则CQ ≅ ZQ^op；若Q有右无限路径但无左无限路径，则CQ ≅ N⁻Δ；若Q有左无限路径但无右无限路径，则CQ为右稳定子quiver。
• 导出范畴Db(rep⁺(Q))存在左几乎分裂三角形当且仅当Q无右无限路径；存在右几乎分裂三角形当且仅当Q无左无限路径。
• 导出范畴存在几乎分裂三角形当且仅当Q完全无无限路径，即既无左也无右无限路径。
• rep⁺(Q)的Auslander-Reitenquiver中的正则分支在导出范畴中仍为连通分支，其形状作为原分支的移位被保持。