[论文解读] Representation theory of Yang-Mills algebras

Estanislao Herscovich, Andréa Solotar|ArXiv.org|Jul 24, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文证明了当 $ n \geq 3 $ 时，所有 Weyl代数 $ A_r(k) $ 都是结合 Yang-Mills 代数 $ \mathrm{YM}(n) $ 的满同态像，从而可将 Weyl 代数的已知表示理论转移至 $ \mathrm{YM}(n) $。关键结果是这些表示构成一个足够大的族，能够分离 $ \mathrm{YM}(n) $ 中的点，尽管该代数具有无限的 Gelfand-Kirillov 维数，仍能提供丰富的无穷维表示。

ABSTRACT

The aim of this article is to describe families or representations of the Yang-Mills algebras YM(n) (where n>1) defined by Connes and Dubois-Violette. We first describe irreducible finite dimensional representations. Next, we provide families of infinite dimensional representations of YM(n), big enough to separate points of the algebra. In order to prove this result, we use that all Weyl algebras Ar(k) are epimorphic images of YM(n).

研究动机与目标

• 描述 $ \mathrm{YM}(n) $ 的表示族，使其足够大以区分代数中的非零元素。
• 将 $ \mathrm{YM}(n) $ 的表示理论扩展至有限维不可约表示之外，后者在本文中已完全分类。
• 建立从 Weyl 代数导出的表示范畴能分离 $ \mathrm{YM}(n) $ 中的点，确保对每个非零元素都有非平凡作用。
• 证明当 $ n \geq 3 $ 时，$ \mathrm{YM}(n) $ 通过一个自由李理想结构，对所有 $ r \geq 1 $ 都满同态映射到 $ A_r(k) $。

提出的方法

• 作者识别出一个李代数理想 $ \mathfrak{tym}(n) \subset \mathfrak{ym}(n) $，其作为李代数是自由的，这对构造到其他代数的同态至关重要。
• 他们利用 Kirillov 轨道方法，从 $ \mathfrak{ym}(n) $ 构造到李代数的同态，其 universal enveloping 代数为 Weyl 代数。
• 证明依赖于构建 $ \mathrm{TYM}(n) = \mathcal{U}(\mathfrak{tym}(n)) $ 的模型，将它的 bar 复形替换为一个同调意义下拟同构的版本，以简化同调分析。
• 他们证明 $ \mathrm{YM}(n) $ 通过商映射与同构的复合，映射到 Weyl 代数 $ A_r(k) $，利用商代数 $ \mathfrak{ym}(n)/\mathcal{C}^l(\mathfrak{ym}(n)) $ 的幂零性。
• 表示范畴 $ \mathcal{W}(n) $ 被定义为通过 $ A_r(k) $ 的 $ \mathrm{YM}(n) $-模的全子范畴，其点分离性质通过包络代数中极大理想的交集得以证明。
• 论证基于有限维李代数的 universal enveloping 代数的 Jacobson 平坦核为零，从而确保对非零元素有非平凡作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $ n \geq 3 $ 构造出 $ \mathrm{YM}(n) $ 的无穷维表示，使其能分离代数中的点？
• RQ2 是否存在从 $ \mathrm{YM}(n) $ 到 Weyl 代数 $ A_r(k) $ 的同态，对所有 $ r \geq 1 $ 和 $ n \geq 3 $ 成立？
• RQ3 在 $ \mathfrak{ym}(n) $ 中存在自由李理想，是否能通过轨道方法系统地构造表示？
• RQ4 Weyl 代数的表示理论能否被转移到 $ \mathrm{YM}(n) $，从而产生丰富且有用的表示族？

主要发现

• 当 $ n \geq 3 $ 时，对所有 $ r \geq 1 $，Weyl 代数 $ A_r(k) $ 是 $ \mathrm{YM}(n) $ 的满同态像，如定理 1.1 所证。
• 李代数 $ \mathfrak{tym}(n) $，定义为 $ \bigoplus_{j \geq 2} \mathfrak{ym}(n)_j $，是自由李代数，这是关键的结构结果。
• $ \mathrm{YM}(n) $-模的范畴 $ \mathcal{W}(n) $（其通过 $ A_r(k) $）能分离 $ \mathrm{YM}(n) $ 的点，如命题 4.12 所证。
• 该构造并未给出 $ \mathrm{YM}(n) $ 的所有表示，因为 $ \mathcal{W}(n) $ 中模的 Gelfand-Kirillov 维数至多为 $ 2r $，而 $ \mathrm{YM}(n) $ 本身具有无限的 Gelfand-Kirillov 维数。
• $ \mathrm{YM}(n) $ 的正则表示（具有无限的 Gelfand-Kirillov 维数）不与 $ \mathcal{W}(n) $ 中的任何模同构，表明该族是不完备的。
• 当 $ n=2 $ 时，该证明不成立，因为 $ \mathfrak{tym}(2) $ 不是自由的，其同构于一个生成元的自由李代数。