[论文解读] Representations of $GL_2(\Fq)$ and $SL_2(\Fq)$, and some remarks about $GL_n(\Fq)$

Amritanshu Prasad|ArXiv.org|Dec 25, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提供了有限域上 $GL_2(\fF_q)$ 和 $SL_2(\fF_q)$ 的表示理论的自包含导引，利用 Weil 表示构造不可约表示，特别是极大表示（cuspidal representations）。该方法被扩展以概述 $GL_n(\fF_q)$ 的理论，强调抛物诱导和极大环面在分类表示中的作用，关键结果包括通过 Weil 表示构造极大表示，以及在更广泛背景下利用 Deligne–Lusztig 理论对不可约特征标进行分类。

ABSTRACT

The goal of these notes is to give a self-contained account of the representation theory of $GL_2$ and $SL_2$ over a finite field, and to give some indication of how the theory works for $GL_n$ over a finite field.

研究动机与目标

• 为有限域上的 $GL_2(\fF_q)$ 和 $SL_2(\fF_q)$ 的表示理论提供一个自包含且易于理解的叙述。
• 展示 Weil 表示在构造 $SL_2(\fF_q)$ 的不可约表示（尤其是极大表示）中的实用性。
• 将用于 $GL_2$ 和 $SL_2$ 的方法推广，以概述 $GL_n(\fF_q)$ 的表示理论。
• 在更广泛的半单代数群和 Deligne–Lusztig 理论的背景下，定位这些结果。

提出的方法

• 利用来自有限域上调和分析的 Weil 表示，构建 $SL_2(\fF_q)$ 的不可约表示。
• 通过上三角矩阵的 Borel 子群进行抛物诱导，构造 $GL_2(\fF_q)$ 的主系列表示。
• 应用小群方法和互换算子理论，分析诱导表示的不可约性与同构类。
• 利用 Heisenberg 群及其投影表示，构造特殊的 Weil 表示，该表示是极大表示的基础。
• 利用有限域的伽罗瓦理论结构（包括 Frobenius 自同态及迹/范数映射），定义加法与乘法特征标。
• 依赖 $\fF_q$ 的加法群的 Pontryagin 对偶性，以参数化加法特征标，这对定义 Weil 表示至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Weil 表示系统地构造 $SL_2(\fF_q)$ 的不可约表示？
• RQ2 抛物诱导在分类 $GL_2(\fF_q)$ 的主系列表示中起什么作用？
• RQ3 $GL_2(\fF_q)$ 的极大表示如何从 Weil 表示中产生？它们的次数是多少？
• RQ4 在 $GL_n(\fF_q)$ 中，极大环面如何参数化不可约表示，如 Springer 猜测所暗示的？
• RQ5 Weil 表示如何推广到更高秩群（如 $GL_n(\fF_q)$）？其局限性是什么？

主要发现

• Weil 表示通过 $L^2(\fF_q)$ 上的一个特殊酉表示，提供了 $SL_2(\fF_q)$ 的所有不可约表示（包括极大表示）的显式构造。
• $GL_2(\fF_q)$ 的极大表示通过 Weil 表示构造，其次数为 $q$，与 Green（1955）的已知分类一致。
• 对于 $SL_2(\fF_q)$，极大表示的次数为 $q \pm 1$，当 $q$ 为奇数时，其数量为 $\frac{1}{2}(q-1)$，由 Weil 表示在 Heisenberg 群上的作用导出。
• 从 Borel 子群出发的抛物诱导产生 $GL_2(\fF_q)$ 的主系列表示，当诱导特征标非二次时不可约，否则分解为两个不可约表示。
• $GL_2(\fF_q)$ 和 $SL_2(\fF_q)$ 的不可约特征标分类通过 Weil 表示实现，推广了 Jordan 和 Schur（1907）的经典结果。
• 本文证明，尽管 Weil 表示在 $SL_2$ 和 $Sp_4$ 中非常强大，但无法直接推广至 $GL_n$（$n > 2$），凸显了在高秩情形下 Deligne–Lusztig 理论的必要性。