[论文解读] Representations of Lie Algebras and Coding Theory

Xiaoping Xu|ArXiv.org|Feb 17, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一类新型纠错码——李理论码，其由复数域上单李代数的有限维不可约表示的权矩阵生成。通过利用外尔群作用与分支规则，证明了这些码，特别是F₂与F₃上的码，可生成最小距离较大的二元双偶正交码与三元正交码，包括E₇、E₈及F₄、E₆、E₇、E₈在它们的最小模与伴随模上的显式[56,7,24]、[63,7,27]与[120,8,57]码。

ABSTRACT

Linear codes with large minimal distances are important error correcting codes in information theory.Orthogonal codes have more applications in the other fields of mathematics. In this paper, we study the binary and ternary orthogonal codes generated by the weight matrices on finite-dimensional modules of simple Lie algebras. The Weyl groups of the Lie algebras act on these codes isometrically. It turns out that certain weight matrices of $sl(n,\mbb{C})$ and $o(2n,\mbb{C})$ generate doubly-even binary orthogonal codes and ternary orthogonal codes with large minimal distances. Moreover, we prove that the weight matrices of $F_4$, $E_6$, $E_7$ and $E_8$ on their minimal irreducible modules and adjoint modules all generate ternary orthogonal codes with large minimal distances. In determining the minimal distances, we have used the Weyl groups and branch rules of the irreducible representations of the related simple Lie algebras.

研究动机与目标

• 建立一类源自单李代数有限维表示的新无穷码族。
• 研究由这些表示的权矩阵生成的二元与三元线性码的结构及其最小距离。
• 证明外尔群作用保持码的等距性，从而实现最小距离的系统性计算。
• 确定例外李代数F₄、E₆、E₇与E₈在它们的最小模与伴随模上生成的三元码的精确最小距离。
• 通过证明权矩阵生成具有高纠错能力的正交码，建立李代数表示理论与编码理论之间的联系。

提出的方法

• 利用Cartan子代数元素在权向量上的作用，构造李代数$ \frak{g} $在有限维$ \frak{g} $-模$ V $上的权矩阵$ C(V) $。
• 定义码$ \frak{C}_m(V) $为由$ C(V) $生成的$ \bbZ_m $-线性码，其中$ m=2 $对应二元码，$ m=3 $对应三元码。
• 外尔群$ \frak{W}(\frak{g}) $在码$ \frak{C}_m(V) $上等距作用，保持汉明权重，从而支持基于对称性的分析。
• 利用不可约表示的分支规则计算权分布，并通过轨道分解确定最小距离。
• 对$ \frak{sl}(n,\bbC) $、$ \frak{o}(2n,\bbC) $以及例外李代数$ F_4 $、$ E_6 $、$ E_7 $、$ E_8 $进行显式构造，利用根系与Dynkin图。
• 通过分析权矩阵行的线性组合及其在外尔群作用下的汉明权重，计算最小距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 单李代数不可约表示的权矩阵能否生成具有大最小距离的正交码？
• RQ2 外尔群作用如何影响生成码的等距性与权重结构？
• RQ3 由例外李代数F₄、E₆、E₇与E₈的最小模与伴随模生成的三元码的精确最小距离是多少？
• RQ4 $ \frak{sl}(n,\bbC) $与$ \frak{o}(2n,\bbC) $生成的码是否产生双偶二元正交码？
• RQ5 李代数的表示理论结构能否系统性地用于构造具有高纠错能力的新码族？

主要发现

• $ \frak{sl}(n,\bbC) $在其最小模上的权矩阵生成一个最小距离较大的双偶二元正交码。
• $ \frak{o}(2n,\bbC) $在其最小模上的权矩阵生成一个最小距离较大的双偶二元正交码。
• $ F_4 $在其最小不可约模与伴随模上的权矩阵生成的三元码是正交码，最小距离为12。
• $ E_6 $在其最小不可约模与伴随模上的权矩阵生成的三元码是正交码，最小距离为12。
• $ E_7 $在其最小不可约模上的权矩阵生成的三元码是正交$[56,7,24]$-码。
• $ E_7 $在其伴随模上的权矩阵生成的三元码是正交$[63,7,27]$-码。
• $ E_8 $在其伴随模上的权矩阵生成的三元码是正交$[120,8,57]$-码。