[论文解读] Representations of the ultrahyperbolic BMS group HB.II. Determination of the representations induced from infinite little groups

Evangelos Melas|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用 4

一句话总结

本论文确定了超双曲BMS群HB的幺正不可约表示（IRs），重点研究从无限小群诱导出的表示。利用Wigner–Mackey诱导方法，通过分析L²(P,λ,R)对偶空间中泛函的稳定子子群（小群），对所有此类IRs进行分类，表明当小群为紧致且满足不变测度条件时，诱导表示是幺正且不可约的，其轨道同胚于R⁴×S¹。

ABSTRACT

The ordinary Bondi-Metzner-Sachs (BMS) group B is the common asymptotic symmetry group of all asymptotically flat Lorentzian space-times. As such, B is the best candidate for the universal symmetry group of General Relativity. However, in studying quantum gravity, space-times with signatures other than the usual Lorentzian one, and complex space-times, are frequently considered. Generalisations of B appropriate to these other signatures have been defined earlier. In particular, the generalisation HB, a BMS group appropriate to the ultrahyperbolic signature (+,+,-,-), has been defined in a previous paper where it was shown that all the strongly continuous unitary irreducible representations (IRs) of HB can be obtained with the Wigner-Mackey's inducing method and that all the little groups of HB are compact. Here we describe in detail all the infinite little groups of HB and we find the IRs of HB induced by them.

研究动机与目标

• 确定超双曲BMS群HB的所有从无限小群诱导出的幺正不可约表示（IRs）的分类。
• 表征小群Lϕ在L²(P,λ,R)对偶空间中泛函的稳定子结构。
• 通过伴随表示的行列式条件，建立G-不变测度在商空间G/Lϕ上存在的唯一性。
• 通过验证Mackey诱导构造的必要条件，证明诱导表示是幺正且不可约的。
• 确定对偶作用T′的轨道的拓扑结构，表明其同胚于R⁴×S¹。

提出的方法

• 本文使用Wigner–Mackey诱导方法，从HB的小群Lϕ的幺正表示出发，构造HB的不可约表示。
• 定义了G×G在L²(P,λ,R)对偶空间上的对偶作用T′，其变换规则显式涉及k_g(x)、s_g(x)以及在射影直线上分式线性作用。
• 小群Lϕ被定义为泛函ϕ在对偶作用T′下关于g的稳定子，且被证明是闭的紧致子群。
• 通过验证|det Ad_G(ε)| = 1和|det Ad_H(ε)| = 1（对所有h ∈ H = Lϕ）来确立轨道G/Lϕ上G-不变测度的存在性。
• 利用SL(2,R)中的极分解g = κu分析轨道的拓扑结构，表明其同胚于R⁴×S¹。
• 本文应用表示论中的一个定理（例如，[19]，第369页）以保证在G/Lϕ上存在唯一的G-不变测度（至多相差一个常数）。

实验结果

研究问题

• RQ1 超双曲BMS群HB的无限小群Lϕ具有何种结构？
• RQ2 如何通过从这些无限小群诱导来构造HB的幺正不可约表示？
• RQ3 在轨道G/Lϕ上，G-不变测度存在的条件是什么？
• RQ4 对偶作用T′在L²(P,λ,R)对偶空间上的轨道具有何种拓扑类型？
• RQ5 从无限小群诱导出的表示与HB的完整幺正对偶表示之间有何关系？

主要发现

• 所有超双曲BMS群HB的幺正不可约表示均通过Wigner–Mackey方法从其无限小群诱导得出。
• 小群Lϕ为紧致且阿贝尔的，其结构由稳定子条件T′(g,h)ϕ = ϕ决定。
• 对每个轨道G/Lϕ上存在唯一的G-不变测度，其保证条件为|det Ad_G(ε)| = 1且|det Ad_H(ε)| = 1（对所有ε ∈ Lϕ）。
• 对偶作用T′的轨道同胚于R⁴×S¹，其推导基于SL(2,R)的极分解及小群的拓扑结构。
• 诱导表示是幺正且不可约的，当p₀与q₀互素时，轨道上的测度被归一化为(1/2π)dθ。
• 该构造证实了HB的所有强连续幺正IRs均通过此诱导过程产生，从而在该设定下完成了幺正对偶的完整分类。