[论文解读] Residues and duality for Cousin complexes

Joseph Lipman, Pramathanath Sastry|ArXiv.org|Aug 4, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文在诺特概型的有限型态射范畴上构造了一个典范伪函子 $^\#$，将科辛复形映射为其对偶复形，从而推广并使哈茨霍rne《留数与对偶性》中的残余复形变分理论变得典范化。关键结果是范畴同构 $f^\# M \cong E(f^! M)$，并定义了一个典范迹映射 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$，当 $f$ 为完备态射时，该映射表示函子 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$，从而推广了经典留数定理。

ABSTRACT

We construct a canonical pseudofunctor ^# on the category of finite-type maps of (say) connected noetherian universally catenary finite-dimensional separated schemes, taking values in the category of Cousin complexes. This pseudofunctor is a concrete approximation to the restriction of the Grothendieck Duality pseudofunctor ^! to the full subcategory of the derived category having Cohen-Macaulay complexes as objects (a subcategory equivalent to the category of Cousin complexes, once a codimension function has been fixed). Specifically, for Cousin complexes M and any scheme map f:X -> Y as above, there is a functorial derived-category map γ: f^# M -> f^! M inducing a functorial isomorphism in the category of Cousin complexes f^# M \iso E(f^! M) (where E is the Cousin functor). γitself is an isomorphism if the complex f^! M is Cohen-Macaulay--which will be so whenever the map f is flat or whenever the complex M is injective. Also, f^# takes residual (resp. injective) complexes on Y to residual (resp. injective) complexes on X; and so the pseudofunctor ^# generalises--and makes canonical--the "variance theory" of residual complexes developed in Chapter VI of Hartshorne's "Residues and Duality." Moreover, we generalise the Residue Theorem of loc.cit., p.369 by defining a functorial Trace map of graded modules Tr_f(M): f_*f^# M -> M (a sum of local residues) such that whenever f is proper, Tr_f(M) is a map of complexes and the pair (f^# M, Tr_f(M)) represents the functor Hom(f_*C, M) of Cousin complexes C.

研究动机与目标

• 在诺特概型的有限型态射范畴上构造一个典范伪函子 $^\#$，使其在科辛复形范畴上模型化格罗滕迪克对偶函子 $^!$ 的限制。
• 通过固定一个余维数函数，为抽象的 $^!$-函子提供一个具体且函子性的近似，方法是利用科辛复形。
• 将哈茨霍rne《第VI章》中的残余复形‘变分理论’推广至一个典范框架。
• 通过为完备态射定义函子性迹映射 $\operatorname{Tr}_f(M)$，推广经典留数定理。
• 证明 $f^\#$ 保持残余复形与内射复形，并且当 $f^! M$ 为科林-麦克劳林复形时，有 $\gamma: f^\# M \to f^! M$ 是同构。

提出的方法

• 在连通诺特概型的有限型态射范畴上定义一个伪函子 $^\#$，其取值为科辛复形范畴。
• 构造一个典范映射 $\gamma: f^\# M \to f^! M$，使其诱导出函子性同构 $f^\# M \cong E(f^! M)$，其中 $E$ 为科辛函子。
• 将迹映射 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$ 定义为局部留数之和，当 $f$ 为完备态射时，该映射为复形之间的映射。
• 利用余维数函数将科林-麦克劳林复形范畴与科辛复形范畴进行识别，从而实现构造。
• 证明 $f^\#$ 在 $Y$ 上保持残余复形与内射复形，且在 $X$ 上也保持相同性质；当 $f$ 为平坦态射或 $M$ 为内射复形时，$\gamma$ 为同构。
• 借助导出范畴框架，确保函子性与对偶性的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗滕迪克对偶函子 $^!$ 如何通过伪函子 $^\#$ 在科辛复形范畴上被具体实现？
• RQ2 在导出范畴中，$f^\# M$ 与 $f^! M$ 之间的精确关系为何？何时典范映射 $\gamma: f^\# M \to f^! M$ 为同构？
• RQ3 经典留数定理能否通过定义函子性迹映射 $\operatorname{Tr}_f(M)$ 推广至表示 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$ 的情形，其中 $C$ 为科辛复形？
• RQ4 伪函子 $^\#$ 如何推广哈茨霍rne著作中残余复形的变分理论？
• RQ5 在何种条件下 $f^\# M$ 保持 $M$ 的残余或内射性质？

主要发现

• 伪函子 $^\#$ 为科辛复形提供了典范且函子性的对偶构造，推广了残余复形的变分理论。
• 映射 $\gamma: f^\# M \to f^! M$ 诱导出函子性同构 $f^\# M \cong E(f^! M)$，其中 $E$ 为科辛函子。
• 迹映射 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$ 为局部留数之和，且当 $f$ 为完备态射时，表示函子 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$。
• $f^\#$ 在 $Y$ 上保持残余复形为 $X$ 上的残余复形，在 $Y$ 上保持内射复形为 $X$ 上的内射复形。
• 当 $f$ 为平坦态射或 $M$ 为内射复形时，$\gamma$ 为同构，从而与已知的对偶性结果保持一致。
• 本研究结果已被后续工作 math.AG/0310032 及萨斯特里即将发表的论文所超越，后者将该理论扩展至形式概型范畴。