[论文解读] Residues of skew rational functions

Xavier Caruso|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文建立了关于自同态 $ \theta $ 为有限阶的斜多项式环 $ K[X;\theta] $ 上斜有理函数的残差理论。它引入了以 $ (X^r - z)^n $ 表示的泰勒型展开，将残差定义为 $ (X^r - z)^{-1} $ 的系数，并证明了斜版本的残差公式与变量替换定律，将经典复分析工具推广至非交换设置。

ABSTRACT

This paper constitutes a first attempt to do analysis with skew polynomials. Precisely, our main objective is to develop a theory of residues for skew rational functions (which are, by definition, the quotients of two skew polynomials). We prove in particular a skew analogue of the residue formula and a skew analogue of the classical formula of change of variables for residues.

研究动机与目标

• 开发斜有理函数残差的系统性理论，将经典复分析推广至非交换斜多项式环。
• 通过 $ (X^r - z)^n $ 展开，将泰勒展开推广至斜多项式，尤其在 $ \theta $ 具有有限阶时。
• 通过斜设置下的洛朗型展开，定义在有限点与无穷远点的残差。
• 证明斜有理函数的全局残差定理的斜版本，关联其所有残差。
• 在分式域 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ 的自同态下，建立变量替换公式。

提出的方法

• 利用 $ \theta $-扭曲乘法规则 $ Xa = \theta(a)X $ 构造斜多项式的泰勒型展开，导出 $ X^r - z $ 的幂次展开。
• 将斜有理函数在点 $ z $ 处的残差定义为其洛朗展开中 $ (X^r - z)^{-1} $ 的系数。
• 当 $ r $ 与 $ K $ 的特征互素时，为斜多项式环配备一个典范导子，将展开中的系数与除法导数联系起来。
• 利用同构 $ \tau_z $ 与 $ \tau_{z,\text{can}} $ 关联不同点的展开，推导变换法则。
• 将该理论应用于分式域 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ 的自同态，推导涉及范数与雅可比型项的变量替换公式。
• 当函数属于交换子环 $ \text{Frac}(K[Y]) $ 时，将一般变量替换公式约化为经典交换情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将泰勒展开推广至具有有限阶自同态 $ \theta $ 的域上的斜多项式？
• RQ2 斜有理函数的残差应如何定义，其与 $ (X^r - z)^n $ 展开中洛朗展开的关系为何？
• RQ3 能否为斜有理函数建立类似经典情形中所有残差之和为零的全局残差公式？
• RQ4 在分式域 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ 的自同态下，残差如何变换？其变量替换公式的斜版本为何？
• RQ5 在何种条件下，斜残差公式退化为经典交换残差公式？

主要发现

• 本文构造了任意斜多项式 $ f \in K[X;\theta] $ 的泰勒型展开，形式为 $ f(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n (X^r - z)^n $，对 $ K $ 的代数闭包中的任意 $ z $ 成立。
• 当 $ r $ 与 $ K $ 的特征互素时，展开中的系数 $ a_n $ 对应该多项式在 $ z $ 处的 $ n $ 阶除法导数值，建立了微分几何解释。
• 对于斜有理函数，洛朗展开形式为 $ f(X) = \sum_{n=v}^\infty a_n (X^r - z)^n $，其中 $ v \in \mathbb{Z} $，且在 $ z $ 处的残差定义为 $ a_{-1} $。
• 证明了斜版本的残差公式：任一斜有理函数在所有有限点与无穷远点处的残差之和为零，推广了经典全局残差定理。
• 建立了变量替换公式：对自同态 $ \gamma $，有 $ \gamma \circ \text{sres}_{\gamma_* z} = \text{sres}_{z} \left( \gamma(f) \cdot \frac{d\gamma(Y)}{dY} \right) $，其中包含范数与单位的校正项。
• 当 $ f \in \text{Frac}(K[Y]) $ 时，公式退化为经典变量替换定律，确认与已知结果的一致性。