[论文解读] Resistance distance-based graph invariants and spanning trees of graphs derived from the strong product of $P_2$ and $C_n$

Yingui Pan, Jianping Li|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

Graph theory and applications参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文推导了 $P_2$ 与 $C_n$ 的强积图以及通过删除 $r$ 条竖直边得到的子图中，基尔霍夫指数、乘法度-基尔霍夫指数和生成树数量的精确公式。研究揭示了一个显著的渐近关系：在原始图和修改后的图中，基尔霍夫指数几乎均为威纳指数的六分之一，凸显了此类图中电阻距离与基于距离的拓扑指数之间深层次的结构关联。

ABSTRACT

Let $G_n$ be a graph obtained by the strong product of $P_2$ and $C_n$, where $n\geqslant3$. In this paper, explicit expressions for the Kirchhoff index, multiplicative degree-Kirchhoff index and number of spanning trees of $G_n$ are determined, respectively. It is surprising to find that the Kirchhoff (resp. multiplicative degree-Kirchhoff) index of $G_n$ is almost one-sixth of its Wiener (resp. Gutman) index. Moreover, let $\mathcal{G}^r_n$ be the set of subgraphs obtained from $G_n$ by deleting any $r$ vertical edges of $G_n$, where $0\leqslant r\leqslant n$. Explicit formulas for the Kirchhoff index and the number of spanning trees for any graph $G^r_n\in \mathcal{G}^r_{n}$ are completely established, respectively. Finally, it is interesting to see that the Kirchhoff index of $G^r_n$ is almost one-sixth of its Wiener index.

研究动机与目标

• 推导图 $G_n = P_2 \boxtimes C_n$ 的基尔霍夫指数、乘法度-基尔霍夫指数和生成树数量的显式闭式表达式。
• 将上述结果扩展至通过从 $G_n$ 中删除 $r$ 条竖直边得到的子图族 $\mathcal{G}^r_n$，其中 $0 \leq r \leq n$。
• 研究这些图中基于电阻的指标（基尔霍夫指数、乘法度-基尔霍夫指数）与基于距离的指标（威纳指数、古尔曼指数）之间的渐近关系。
• 利用特征值分解和矩阵分块技术，研究 $G_n$ 及其删边变体的拉普拉斯矩阵的谱性质。

提出的方法

• 作者使用谱图论，具体通过图 $G$ 的拉普拉斯矩阵 $L(G)$ 的特征值来计算基尔霍夫指数，公式为 $K\!f(G) = n \sum_{i=2}^n \frac{1}{\rho_i}$，其中 $\rho_i$ 是 $L(G)$ 的非零特征值。
• 对于乘法度-基尔霍夫指数，应用公式 $K\!f^*(G) = 2m \sum_{i=2}^n \frac{1}{\lambda_i}$，其中 $\lambda_i$ 是归一化拉普拉斯矩阵 $\mathcal{L}(G)$ 的非零特征值。
• 图 $G_n = P_2 \boxtimes C_n$ 通过将其拉普拉斯矩阵划分为块形式 $L_{11}$、$L_{12}$ 来分析，并利用 $C_n$ 的结构推导出环的特征值，进而得到 $L_A$ 和 $L_S$ 矩阵。
• 生成树数量 $\tau(G)$ 使用公式 $\tau(G) = \frac{1}{n} \prod_{i=1}^{n-1} \lambda_i^{(A)} \cdot \prod_{j=1}^n s_j$ 计算，其中 $\lambda_i^{(A)}$ 是邻接类块的特征值，$s_j$ 是舒尔补的对角元。
• 该方法利用了 $L_A(G^r_n) = 2L(C_n)$ 且 $L_S(G^r_n)$ 为对角矩阵的性质，从而基于环的已知谱实现精确的特征值计算。
• 通过比较 $K\!f(G^r_n)$ 与 $W(G^r_n)$ 进行渐近分析，证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{K\!f(G^r_n)}{W(G^r_n)} = \frac{1}{6}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G_n = P_2 \boxtimes C_n$ 中，基尔霍夫指数、乘法度-基尔霍夫指数和生成树数量的精确闭式表达式是什么？
• RQ2 当从 $G_n$ 中删除 $r$ 条竖直边形成子图族 $\mathcal{G}^r_n$ 时，这些不变量如何变化？
• RQ3 在 $n \to \infty$ 时，$G^r_n$ 中基尔霍夫指数与威纳指数之间是否存在一个普遍的渐近比值？
• RQ4 是否可以将 $P_2 \boxtimes G$ 的谱分解推广至任意连通图 $G$？
• RQ5 在这些乘积图中，基于电阻的指标（基尔霍夫指数、乘法度-基尔霍夫指数）与基于距离的指标（威纳指数、古尔曼指数）之间存在何种关系？

主要发现

• 对于 $\mathcal{G}^r_n$ 中任意 $r$ 条边的删除，图 $G_n = P_2 \boxtimes C_n$ 的基尔霍夫指数精确为 $\frac{n^3 + 4n^2 + (2r - 1)n}{12}$。
• 在 $G^r_n$ 中，生成树数量为 $\tau(G^r_n) = n \cdot 2^{2n + r - 2} \cdot 3^{n - r}$，显示出对 $n$ 和 $r$ 的指数依赖性。
• 乘法度-基尔霍夫指数在本文中未显式计算，但基尔霍夫指数被证明渐近为威纳指数的六分之一：$\lim_{n\to\infty} \frac{K\!f(G^r_n)}{W(G^r_n)} = \frac{1}{6}$。
• 当 $r = 0$ 时，结果退化为原始图 $G_n$ 的情形，此时基尔霍夫指数为 $\frac{n^3 + 4n^2 - n}{12}$，与基于环的已知公式一致。
• $G^r_n$ 的威纳指数为 $W(G^r_n) = W(G_n) + r$，表明其随删除的竖直边数线性增加。
• 基尔霍夫指数与威纳指数的渐近比值恒为 $1/6$，且在所有 $r$ 中保持一致，表明该图族具有普遍的结构性质。