[论文解读] Resolutions of p-Modular TQFT's and Representations of Symmetric Groups

Thomas Kerler|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过特征零的Specht模，建立了一类对称群的 $p$-模表示的新解析方法，构造了一个精确复形，将 $p$-模单模 $\mathcal{D}^\tau_p$ 实现为一系列 $p$-约化Specht模的余核。关键贡献在于提出字符展开 $\varphi_p^\tau = \sum_{i\geq 0} (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$，其中 $\tau_i$ 为移位的杨图，且映射通过 $\mathbb{Z}^2$ 张量积上的对偶 $\mathfrak{sl}_2$-作用构造，从而在模表示理论与普通表示理论之间建立了新对偶性。

ABSTRACT

We construct families of TQFT's over the finite field Z/pZ starting from an integral TQFT obtained by Frohman and Nicas. These TQFT's are likely to describe the constant order contributions of the cyclotomic integer expansions of the Reshetikhin Turaev Ohtsuki theories. Their modular structure is intimately related to the p-modular representation theory of the symmetric groups S_n. We construct resolutions of simple p-modular TQFT's and S_n-modules over Z/pZ using powers of Lefschetz operators. These yield expansions of the irreducible p-modular S_n-characters in terms of the ordianry ones as well as expressions for the Alexander Polynomial of a 3-manifold evaluated at a p-th root of unity in terms of traces in the irreducible modular TQFT's over covering cobordisms. Together with identifications with the constant orders of quantum TQFT's this results, e.g., in non-trivial criteria for a group to be a 3-manifold group.

研究动机与目标

• 构造对称群的 $p$-模单表示 $\mathcal{D}^\tau_p$ 的解析，以普通 $p$-约化Specht模 $\mathcal{S}^{\tau_i}_p$ 表示。
• 建立字符展开 $\varphi_p^\tau = \sum_{i\geq 0} (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$，逆转已知的从普通字符到模字符的约化关系。
• 将对称群的表示理论与 $\mathbb{F}_p$ 上的拓扑量子场理论（TQFT）联系起来，特别是通过张量积上的 $\mathfrak{sl}_2$-作用。
• 通过Johnson-Morita扩张与 $\mathfrak{sp}_{2g}$-模，将该解析结构推广至辛群。

提出的方法

• 构造一个 $S_n$-等变映射的精确序列：$\cdots \to \mathcal{S}^{\tau_2}_p \to \mathcal{S}^{\tau_1}_p \to \mathcal{S}^{\tau_0}_p \to \mathcal{D}^\tau_p \to 0$，其中 $\tau_i$ 为满足 $a-b \leq p-2$ 的移位杨图。
• 将复形中的映射实现为 $\mathfrak{sl}_2$-生成元在 $({\mathbb{Z}}^2)^{\otimes n}$ 上的对偶作用，该空间包含置换模 $M^\tau$。
• 利用Kleshchev与Sheth关于两行Specht模的模结构结果，在第5节中证明复形的精确性。
• 应用Lefschetz分解技术与Specht模理论，分析 $\mathbb{F}_p$-约化 $\mathcal{S}^\tau_p$ 及其单商模 $\mathcal{D}^\tau_p$。
• 通过分析 $\mathfrak{sp}_{2g}$ 在 $\bigwedge^k H$ 上的作用，将框架扩展至辛群 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$，其中 $H = H_1(\Sigma_g,\mathbb{Z})$。
• 通过交替映射 $E^k \oplus E^{k+3}$ 与 $E^{p-k} \oplus E^{p-k-3}$，为 $\mathbb{F}_p$-模 $\mathcal{U}_p^{(j)}(\Sigma_g)$ 构造解析，尽管这些映射不具有 $\mathbf{Q}_g$-等变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以普通 $p$-约化Specht模 $\mathcal{S}^{\tau_i}_p$ 的形式，对对称群 $S_n$ 的 $p$-模单表示 $\mathcal{D}^\tau_p$ 进行解析？
• RQ2 是否存在已知约化 $\chi^\tau \mapsto \chi_p^\tau$ 的字符层逆映射，从而得到 $\varphi_p^\tau = \sum (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$？
• RQ3 $({\mathbb{Z}}^2)^{\otimes n}$ 上的 $\mathfrak{sl}_2$-作用如何实现 $\mathcal{D}^\tau_p$ 解析中的映射？
• RQ4 能否通过Johnson-Morita扩张，将该解析结构推广至更高秩李群，如 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$？
• RQ5 为何所构造的解析映射尽管反转了扩张序列，仍不具有 $\mathbf{Q}_g$-等变性？

主要发现

• 当 $p \geq 3$ 且杨图 $\tau = [a,b]$ 为两行且满足 $0 \leq a-b \leq p-2$ 时，精确复形 $\cdots \to \mathcal{S}^{\tau_2}_p \to \mathcal{S}^{\tau_1}_p \to \mathcal{S}^{\tau_0}_p \to \mathcal{D}^\tau_p \to 0$ 成立。
• 字符展开 $\varphi_p^\tau = \sum_{i\geq 0} (-1)^i \chi_p^{\tau_i}$ 成立，其中 $\tau_i$ 为移位杨图：$\tau_{2i} = [a+ip, b-ip]$ 与 $\tau_{2i-1} = [b+ip-1, a-ip+1]$。
• 复形中的映射源于 $({\mathbb{Z}}^2)^{\otimes n}$ 上的对偶 $\mathfrak{sl}_2$-作用，该作用保持 $S_n$-模结构并生成一个良定义的复形。
• 当 $g \geq 0$，$p \geq 5$，且 $0 < k < p-3$ 时，$\mathbb{F}_p$-模 $\mathcal{U}_p^{(j)}(\Sigma_g)$ 存在类似精确序列，其映射交替为 $E^k \oplus E^{k+3}$ 与 $E^{p-k} \oplus E^{p-k-3}$。
• $\mathcal{U}_p^{(j)}(\Sigma_g)$ 的解析不具有 $\mathbf{Q}_g$-等变性，即使每两个扩展序列反转后，仍因Johnson-Morita同态下结构非不变而失败。
• 结果暗示了在 $p=5$ 时，Lescop不变量与Reshetikhin-Turaev不变量之间可能存在关系，该关系通过TQFT框架建立。