[论文解读] Resolvent and spectral measure on non-trapping asymptotically hyperbolic manifolds II: spectral measure, restriction theorem, spectral multiplier

Xi Chen, Andrew Hassell|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 30被引用 7

一句话总结

该论文在非捕获渐近双曲流形上建立了拉普拉斯算子平方根的谱测度的逐点界，借助高能解析延拓估计。证明了所有 $ p \in [1,2) $ 下的强 $ L^p \to L^{p'} $ 限制定理，其强度超过渐近锥形情形，且在负曲率条件下，于 $ L^p + L^2 $ 上获得了谱乘子结果，归因于指数体积增长。

ABSTRACT

We consider the Laplacian $Δ$ on an asymptotically hyperbolic manifold $X$, as defined by Mazzeo and Melrose. We give pointwise bounds on the spectral measure for the operator $(Δ- n^2/4)_+^{1/2}$ on such manifolds, under the assumptions that $X$ is nontrapping and there is no resonance at the bottom of the spectrum. This uses the construction of the resolvent given by Mazzeo and Melrose (valid when the spectral parameter lies in a compact set), Melrose, Sá Barreto and Vasy (high energy estimates for a perturbation of the hyperbolic metric) and the present authors (see also the work by Yiran Wang) in the general high-energy case. Under the additional assumption that $X$ has negative curvature everywhere, we give two applications of the spectral measure estimates. The first, following work due to Guillarmou and Sikora with the second author in the asymptotically conic case, is a restriction theorem, that is, a $L^p(X) o L^{p'}(X)$ operator norm bound on the spectral measure. The second is a spectral multiplier result, that is, a bound on functions $F((Δ- n^2/4)_+^{1/2})$ of the square root of the Laplacian, in terms of norms of the function $F$. Compared to the asymptotically conic case, our spectral multiplier result is weaker, but the restriction estimate is stronger. In both cases, the difference can be traced to the exponential volume growth at infinity for asymptotically hyperbolic manifolds, as opposed to polynomial growth in the asymptotically conic setting. The pointwise bounds on the spectral measure established here will also be applied to Strichartz estimates in another work by the first author.

研究动机与目标

• 在非捕获渐近双曲流形上，建立 $ (\Delta - n^2/4)_+^{1/2} $ 的谱测度的 Schwartz 核的精确逐点界。
• 推导谱测度的算子范数估计，包括限制定理与谱乘子结果。
• 考虑指数体积增长对谱估计的影响，与渐近锥形流形中的多项式增长形成对比。
• 为后续工作中全局时间 Strichartz 估计提供基础估计。

提出的方法

• 利用 Mazzeo-Melrose、Melrose-Sá Barreto-Vasy 及作者先前的工作所建立的解析延拓构造，分析高能行为。
• 通过解析延拓 $ (\Delta - n^2/4 - (\lambda \pm i0)^2)^{-1} $ 在边界上的取值，表达谱测度 $ dE_P(\lambda) $。
• 应用微局部技术将谱测度局部化在对角线附近，并推导其逐点核界。
• 利用柯西-施瓦茨不等式与基于 $ L^p $ 的估计，控制谱测度引起的振荡积分。
• 利用函数 $ F $ 的傅里叶变换在 $ L^1 $ 与 $ L^2 $ 上的有界性，控制谱乘子范数。
• 应用符号估计与分部积分法，控制参数构造中涉及 $ c $、$ a_\pm $ 与 $ \tilde{a}_\pm $ 的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非捕获渐近双曲流形上，$ (\Delta - n^2/4)_+^{1/2} $ 的谱测度的逐点界如何表现？
• RQ2 尽管存在指数体积增长，在渐近双曲情形下，是否能对所有 $ p \in [1,2) $ 建立 $ L^p \to L^{p'} $ 限制定理？
• RQ3 在负曲率条件下，$ F((\Delta - n^2/4)_+^{1/2}) $ 的谱乘子界为何种形式？与渐近锥形情形有何不同？
• RQ4 与多项式增长相比，无穷远处的指数体积增长如何影响限制与乘子估计的最优性？

主要发现

• 对所有 $ p \in [1,2) $，建立了最优的 $ L^p \to L^{p'} $ 限制定理，其强度超过渐近锥形情形（在该情形下，当 $ p \geq 2(d+1)/(d+3) $ 时此类估计不成立）。
• 在非捕获与无共振条件下，谱测度满足逐点 Schwartz 核界，其推导基于高能解析延拓估计。
• 在负曲率假设下，于 $ L^p(X) + L^2(X) $ 上获得了谱乘子结果，$ p \in [1,2) $，其界依赖于 $ F $ 的 $ H^{(n+1)/2} $-范数。
• $ L^1 $-基的 $ L^2 $-范数估计对谱测度在参数 $ \alpha $ 上一致有界，这对乘子估计至关重要。
• 证明依赖于对涉及 $ F(\alpha\lambda) $、$ c $、$ a_\pm $ 与 $ \tilde{a}_\pm $ 的振荡积分的统一有界性，利用分部积分与符号估计。
• 渐近双曲流形中的指数体积增长使得限制估计更强，但谱乘子的 $ L^p $-有界性弱于渐近锥形情形。