[论文解读] Resonance index and singular spectral shift function

Nurulla Azamov|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了奇异谱移函数的跳跃间断点与量子散射理论中共振指数之间的精确联系。证明了在共振点处，奇异谱移函数的跳跃等于解析函数在上半平面与下半平面极点数之差，为不可约算子对构造了一个非平凡的奇异谱移函数实例。

ABSTRACT

This paper is a continuation of my previous work on absolutely continuous and singular spectral shift functions, where it was in particular proved that the singular part of the spectral shift function is an a.e. integer-valued function. It was also shown that the singular spectral shift function is a locally constant function of the coupling constant $r,$ with possible jumps only at resonance points. Main result of this paper asserts that the jump of the singular spectral shift function at a resonance point is equal to the so-called resonance index, --- a new (to the best of my knowledge) notion introduced in this paper. Resonance index can be described as follows. For a fixed $λ$ the resonance points $r_0$ of a path $H_r$ of self-adjoint operators are real poles of a certain meromorphic function associated with the triple $(λ+i0; H_0,V).$ When $λ+i0$ is shifted to $λ+iy$ with small $y>0,$ that pole get off the real axis in the coupling constant complex plane and, in general, splits into some $N_+$ poles in the upper half-plane and some $N_-$ poles in the lower half-plane (counting multiplicities). Resonance index of the triple $(λ; H_{r_0},V)$ is the difference $N_+-N_-.$ Based on the theorem just described, a non-trivial example of singular spectral shift function is given.

研究动机与目标

• 以共振指数的形式表征奇异谱移函数跳跃间断点的性质。
• 建立谱移函数行为与复耦合常数平面上与预解式相关函数解析结构之间的联系。
• 为不可约自伴算子对构造一个非平凡的奇异谱移函数实例。
• 证明尽管存在迹类扰动，奇异谱移函数在绝对连续谱上仍可非零。

提出的方法

• 定义正则点集 $\Lambda(H_0, F)$，其中预解式的边界值在一致范数与迹类范数下存在。
• 引入求值算子 $\mathcal{E}_\lambda$ 及其关联的希尔伯特空间 $\mathfrak{h}_\lambda$，以描述绝对连续谱子空间。
• 将共振指数定义为 $N_+ - N_-$，其中 $N_\pm$ 分别为将 $\lambda + i0$ 平移至 $\lambda + iy$（$y > 0$）后，亚纯函数在上半平面与下半平面的极点数量。
• 利用预解式恒等式与迹类扰动理论，将 $1 + rT_{\lambda+i0}(H_0)J$ 的极点与耦合常数 $r$ 的共振点联系起来。
• 应用Luzin-Privalov定理及Cauchy-Stieltjes变换的性质，证明主值积分 $\text{p.v.}\int \frac{dF(x)}{x - \lambda}$ 几乎处处在康托集 $K$ 上非零。
• 通过构造一个在对称康托集 $K \subset [-1,1]$ 上具有紧支集的奇异测度 $dF(x)$（满足 $|K| = 1$），并证明对几乎所有 $\lambda \in K$，有 $\operatorname{ind}_{\text{res}}(\lambda; H_r, V) = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在耦合常数 $r$ 中，奇异谱移函数跳跃间断点由什么决定？
• RQ2 共振指数如何通过复平面上亚纯函数极点分布来定义？
• RQ3 不可约自伴算子对是否存在非平凡的奇异谱移函数？
• RQ4 谱测度的主值积分与共振点存在性之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下奇异谱移函数在绝对连续谱上非零？

主要发现

• 在共振点 $r_0$ 处，奇异谱移函数的跳跃等于三元组 $(\lambda; H_{r_0}, V)$ 的共振指数 $N_+ - N_-$。
• 对几乎所有 $\lambda \in K$，当 $r > 0$ 足够大时，共振指数 $\operatorname{ind}_{\text{res}}(\lambda; H_r, V) = 1$，意味着谱移函数存在非零跳跃。
• 共振指数为 1 的 $\lambda \in K$ 的集合具有勒贝格测度 $\frac{1}{2}$，确保了奇异谱移函数具有正测度的支撑集。
• 主值积分 $\text{p.v.}\int_{-1}^{1} \frac{dF(x)}{x - \lambda}$ 几乎处处在 $K$ 上非零，这对共振点的存在性至关重要。
• 对几乎所有 $\lambda$，有 $\lim_{r \to \infty} \xi^{(s)}(\lambda; H_r, H_0) = \chi_K(\lambda)$，表明其收敛于康托集的特征函数。
• 所构造的对 $(H_0, V)$ 是不可约的，且奇异谱移函数在绝对连续谱 $[-1,1]$ 上非零，从而提供了一个非平凡的实例。