[论文解读] Restriction categories III: colimits, partial limits, and extensivity

J.R.B. Cockett, Stephen Lack|Oct 16, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 56

一句话总结

本文發展了限制範疇中餘極限與極限的理論，引入了『部分極限』的新概念，作為具備特定相容性條件的弱極限。當限制餘積具有擴展性時，總範疇成為擴展範疇，並透過限制範疇的雙反射，以二階範疇中具有有限積的擴展範疇為目標，構造出分配範疇的擴展完備化。

ABSTRACT

A restriction category is an abstract formulation for a category of partial maps, defined in terms of certain specified idempotents called the restriction idempotents. All categories of partial maps are restriction categories; conversely, a restriction category is a category of partial maps if and only if the restriction idempotents split. Restriction categories facilitate reasoning about partial maps as they have a purely algebraic formulation. In this paper we consider colimits and limits in restriction categories. As the notion of restriction category is not self-dual, we should not expect colimits and limits in restriction categories to behave in the same manner. The notion of colimit in the restriction context is quite straightforward, but limits are more delicate. The suitable notion of limit turns out to be a kind of lax limit, satisfying certain extra properties. Of particular interest is the behaviour of the coproduct both by itself and with respect to partial products. We explore various conditions under which the coproducts are ``extensive'' in the sense that the total category (of the related partial map category) becomes an extensive category. When partial limits are present, they become ordinary limits in the total category. Thus, when the coproducts are extensive we obtain as the total category a lextensive category. This provides, in particular, a description of the extensive completion of a distributive category.

研究动机与目标

• 正式化限制範疇中的餘極限與極限，指出範疇論的對偶性無法延伸至限制範疇。
• 定義限制範疇中合適的極限概念，並證明由於部分性的非對稱性，此極限必須是具備額外結構的弱極限。
• 描述限制餘積在何種條件下具有『擴展性』，即其行為類似於擴展範疇中的餘積。
• 證明具有擴展餘積與部分積的限制範疇之總範疇為擴展範疇，從而構造出分配範疇的擴展完備化。
• 建立任一分配範疇至具有有限積的擴展範疇二階範疇的雙反射，使用分類單 functor 與限制範疇的總範疇。

提出的方法

• 將限制範疇定義為部分映射範疇的全子範疇，其中限制等冪（滿足 f̄f = f 且 f̄ḡ = ḡf̄ 的映射 f̄）編碼了定義域資訊。
• 將限制餘積定義為二階範疇 rCat 中的餘積，要求對角線與終對象映射在該二階範疇中具有左伴隨。
• 引入『部分積』作為二階範疇 rCatl 中的笛卡爾對象，其中 2-細胞為弱自然變換，以確保與限制結構相容。
• 當餘積具有擴展性時，具有限制積與餘積的限制範疇之總範疇被特徵化為擴展範疇。
• 利用分配範疇 D 的 K_r(D_{+1}) 範疇構造，建立一個總範疇，使其成為 D 的擴展完備化。
• 應用雙伴隨與分類單 functor，證明標準函子 N: D → Total(K_r(D_{+1})) 展現 Total(K_r(D_{+1})) 為 D 對具有有限積的擴展範疇二階範疇的雙反射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏自對偶性的限制範疇中，應如何定義餘極限？
• RQ2 限制範疇中的正確極限概念為何？與普通範疇中的普通極限有何差異？
• RQ3 限制餘積在何種條件下會表現為擴展範疇中的餘積？
• RQ4 如何利用限制範疇與分類單 functor，以範疇論方法構造分配範疇的擴展完備化？
• RQ5 分類單 functor 的態射在描述擴展完備化的普遍性中扮演何種角色？

主要发现

• 限制餘積被定義為二階範疇 rCat 中的餘積，要求對角線與終對象映射具有左伴隨，以確保與限制結構相容。
• 限制範疇中的極限概念並非普通極限，而是具有特定相容性條件的弱極限，涉及限制等冪。
• 當限制餘積具有擴展性時，限制範疇的總範疇成為擴展範疇，意味著其具有有限積與餘積，且滿足擴展性條件。
• 對於分配範疇 D，K_r(D_{+1}) 的總範疇被證明是 D 的擴展完備化，透過其對具有有限積的擴展範疇二階範疇的雙反射。
• 任一保持有限餘積的分配範疇之間的函子，可唯一地延拓為分類單 functor 的態射，且此類函子之間的自然變換自動成為分類單 functor 的變換。
• 標準函子 N: D → Total(K_r(D_{+1})) 展現 Total(K_r(D_{+1})) 為 D 對具有有限積的擴展範疇二階範疇的雙反射，從而確立擴展完備化的普遍性。