[论文解读] Resultants and Chow forms via Exterior Syzygies

David Eisenbud, Frank–Olaf Schreyer|ArXiv.org|Nov 5, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文提出了一种利用外微分关系式与格拉斯曼流形上的典范 Chow 复形计算 Chow 形式与结式的新方法，推广了 Beilinson 的正合列。该方法基于向量丛理论与 Horrocks-Mumford 丛，给出了结式的显式行列式与 Pfaffian 公式——例如，五元五次型的结式可用 Pfaffian 表达——将已知公式扩展至经典情形之外。

ABSTRACT

Given a sheaf on a projective space P^n we define a sequence of canonical and easily computable Chow complexes on the Grassmannians of planes in P^n, generalizing the Beilinson monad on P^n. If the sheaf has dimension k, then the Chow form of the associated k-cycle is the determinant of the Chow complex on the Grassmannian of planes of codimension k+1. Using the theory of vector bundles and the canonical nature of the complexes we are able to give explicit determinantal and Pfaffian formulas for resultants in some cases where no polynomial formulas were known. For example, the Horrocks-Mumford bundle gives rise to a polynomial formula for the resultant of five homogeneous forms of degree eight in five variables.

研究动机与目标

• 通过格拉斯曼流形上的典范 Chow 复形，推广 Beilinson 对射影空间上层的正合列。
• 在先前无显式公式的情况下，为 Chow 形式与结式提供显式的多项式公式。
• 利用向量丛构造，将经典的 Bézout 与 Sylvester 型公式推广至高维流形与高次型。
• 建立射影流形的几何性质与格拉斯曼流形上行列式与 Pfaffian 代数结构之间的联系。
• 利用 Horrocks-Mumford 丛，为五元中八次型的结式推导出新的 Pfaffian 公式。

提出的方法

• 在 $\mathbb{P}^n$ 中平面的格拉斯曼流形上构造一系列典范 Chow 复形，利用外微分关系式与向量丛理论。
• 将 $k$-维周期的 Chow 形式定义为在余维数 $k+1$ 平面的格拉斯曼流形上 Chow 复形的行列式。
• 利用这些复形的典范性质，推导出普吕克坐标表达式，包括对称矩阵的 Pfaffian。
• 应用向量丛理论——特别是 $\mathbb{P}^2$ 上的秩二丛与 Horrocks-Mumford 丛——构造新的 Stiefel 坐标表达式。
• 通过关联对应 $\mathbb{F}_l \to \mathbb{G}_l$ 拉回 Chow 超曲面，将结式表达为 Stiefel 坐标下的行列式或 Pfaffian。
• 使用 Macaulay2 程序计算并验证具体例子的所得矩阵，包括五变量中八次型的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 射影流形的 Chow 形式能否表示为普吕克坐标或 Stiefel 坐标下矩阵的行列式或 Pfaffian？
• RQ2 在已知情形之外，$k+1$ 个 $k+1$ 个变量中 $d$ 次齐次多项式结式的显式多项式公式是什么？
• RQ3 Horrocks-Mumford 丛如何用于构造高维情形下结式的新型 Pfaffian 公式？
• RQ4 外微分关系式与典范复形的理论在多大程度上可推广 Beilinson 正合列以计算 Chow 形式？
• RQ5 能否利用普吕克坐标下对称矩阵的 Pfaffian，为任意次数的三元型结式构造新型 Bézout 型公式？

主要发现

• 在 $\mathbb{P}^n$ 中 $k$-维流形的 Chow 形式是格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}(k+1, n+1)$ 上通过外微分关系式构造的 Chow 复形的行列式。
• 对于三元中三个二次型，结式由普吕克坐标下 $8 \times 8$ 对称矩阵的线性形式 Pfaffian 给出。
• Horrocks-Mumford 丛为五元中五次型的结式提供了 Pfaffian Stiefel 表达式，此情形此前无已知多项式公式。
• 为 $k+1$ 个 $k+1$ 个变量中次数 $d \geq 2$ 的型构造了新的 Stiefel 表达式，扩展了此前仅知 $k \leq 3$ 与 $k=4, d=2$ 的情形。
• 该方法生成了用于生成矩阵的显式 Macaulay2 代码，使此前难以计算的结式得以实现。
• 该理论为三元型任意次数结式的 Bézout 型公式提供了系统化的推导框架，表达于普吕克坐标下。