[论文解读] Results and conjectures related to a conjecture of Erdős concerning primitive sequences

Bakir Farhi|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文研究Erdős猜想：对非平凡本原序列A ≠ {1}，∑₁/(a log a) 的和在A为素数序列时达到最大。研究证明，当x ≥ 363时，类似形式的和∑₁/(a(log a + x)) 超过了素数序列的和，对某些齐次序列（例如恰好有5个素因子的数）成立，从而否定了Erdős猜想的一个自然推广。结果表明，当x较大时，素数序列不再使加权和最大化，暗示使和最大的序列可能依赖于x。

ABSTRACT

A strictly increasing sequence $\mathscr{A}$ of positive integers is said to be primitive if no term of $\mathscr{A}$ divides any other. Erdős showed that the series $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a \log a}$, where $\mathscr{A}$ is a primitive sequence different from $\{1\}$, are all convergent and their sums are bounded above by an absolute constant. Besides, he conjectured that the upper bound of the preceding sums is reached when $\mathscr{A}$ is the sequence of the prime numbers. The purpose of this paper is to study the Erdős conjecture. In the first part of the paper, we give two significant conjectures which are equivalent to that of Erdős and in the second one, we study the series of the form $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a (\log a + x)}$, where $x$ is a fixed non-negative real number and $\mathscr{A}$ is a primitive sequence different from $\{1\}$. In particular, we prove that the analogue of Erdős's conjecture for those series does not hold, at least for $x \geq 363$. At the end of the paper, we propose a more general conjecture than that of Erdős, which concerns the preceding series, and we conclude by raising some open questions.

研究动机与目标

• 研究Erdős猜想的正确性，即本原序列上∑₁/(a log a) 的和是否在素数序列时达到最大。
• 探讨该猜想是否可推广至形如∑₁/(a(log a + x)) 的和（x ≥ 0）。
• 确定素数序列是否仍为这类加权和的最优解，或是否存在其他本原序列在x较大时给出更大的值。
• 提出一个广义猜想：∑₁/(a(log a + x)) 的上确界由某类齐次序列P_k（即恰好有k个素因子的数）实现。
• 识别关于集合I（即素数和非最大时的x值）的开放问题。

提出的方法

• 提出两个与Erdős原始猜想等价的猜想：一个基于序列A的素因子，另一个基于A的大小。
• 分析固定x ≥ 0时，本原序列A ≠ {1}的加权和S(A, x) = ∑₁/(a(log a + x))。
• 以齐次序列P_k = {n : Ω(n) = k}为测试案例，特别关注P_5，构造反例。
• 利用优化技术（通过Excel的Solver）最小化一个含参数α、d、c的界表达式，以确定阈值x₀ = 363。
• 推导P_k上和的下界，并与素数和比较，表明当x ≥ 363时前者可超过后者。
• 证明当x ≥ 363时，存在一个本原序列（具体为P_5）使得∑₁/(a(log a + x)) > ∑₁/(p(log p + x))

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有x ≥ 0，本原序列上∑₁/(a(log a + x)) 的和是否在素数序列时达到最大？
• RQ2 在哪些x值下，素数序列无法使∑₁/(a(log a + x)) 的和达到最大？
• RQ3 是否存在一个x₀，使得对所有x ≥ x₀，某类P_k（齐次序列）的和超过素数序列的和？
• RQ4 集合I（即素数和非最大时的x值）能否在拓扑上被刻画（例如为区间、开集或闭集）？
• RQ5 集合I的下确界是什么？是否包含x = 0？

主要发现

• 当x ≥ 363时，存在一个本原序列（具体为P_5，即恰好有5个素因子的整数集合），使得∑₁/(a(log a + x)) > ∑₁/(p(log p + x))。
• 阈值x₀ = 363是可有效计算的，通过优化含参数α、d、c的界表达式得出。
• 结果表明，Erdős猜想向∑₁/(a(log a + x)) 形式的自然推广在所有x ≥ 363时均不成立。
• 当x较大时，素数序列不再使加权和∑₁/(a(log a + x)) 最大化，暗示使和最大的序列可能依赖于x。
• 本文提出猜想3.6，推测对每个x ≥ 0，∑₁/(a(log a + x)) 的上确界由某个k ≥ 1的齐次序列P_k实现。
• 集合I（即素数和非最大时的x值）包含[363, ∞)，但其完整结构（例如是否为区间或开/闭集）仍未知。