[论文解读] Revisiting Cosmologies in Teleparallelism

Fabio D’Ambrosio, Lavinia Heisenberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过在宇宙学均匀性和各向同性条件下对度规和联络进行对称性约化，系统推导出 $f(\mathbb{Q})$ 和 $f(\mathbb{T})$ 引力中最为一般的宇宙学场方程。结果表明，在 $f(\mathbb{Q})$ 引力中，联络变为动力学的，能够驱动非广义相对论解——例如真空中的 de Sitter 暴胀；而在 $f(\mathbb{T})$ 引力中，联络是固定且非动力学的，仅导致标准广义相对论解。

ABSTRACT

We discuss the most general field equations for cosmological spacetimes for theories of gravity based on non-linear extensions of the non-metricity scalar and the torsion scalar. Our approach is based on a systematic symmetry-reduction of the metric-affine geometry which underlies these theories. While for the simplest conceivable case the connection disappears from the field equations and one obtains the Friedmann equations of General Relativity, we show that in $f(\mathbb{Q})$ cosmology the connection generically modifies the metric field equations and that some of the connection components become dynamical. We show that $f(\mathbb{Q})$ cosmology contains the exact General Relativity solutions and also exact solutions which go beyond. In $f(\mathbb{T})$~cosmology, however, the connection is completely fixed and not dynamical.

研究动机与目标

• 推导非线性对称和度规规范引力扩展在宇宙学时空中的最一般场方程。
• 研究在宇宙学对称性下，$f(\mathbb{Q})$ 和 $f(\mathbb{T})$ 宇宙学中联络是否成为动力学的。
• 在 $f(\mathbb{Q})$ 引力中识别出广义相对论之外的精确解，特别是在真空情况。
• 澄清联络在 $f(\mathbb{Q})$ 与 $f(\mathbb{T})$ 宇宙学中的作用，特别是关于自由度和场方程方面。

提出的方法

• 在宇宙学均匀性和各向同性条件下，对度规和仿射联络进行系统性对称性约化。
• 对 $f(\mathbb{T})$ 实施度规相容性和无扭转的几何假设，对 $f(\mathbb{Q})$ 实施对称、平坦且无扭转联络的假设。
• 从约化的度规和联络假设中推导出 $f(\mathbb{Q})$ 和 $f(\mathbb{T})$ 宇宙学的最一般场方程。
• 利用对称性约化的联络分析其是否满足动力学方程，或是否被约束为固定形式。
• 比较 $f(\mathbb{Q})$ 和 $f(\mathbb{T})$ 引力中的场方程和解，特别是在空间平坦情况下。
• 分析特定解，包括真空 de Sitter 解和类广义相对论解，以检验联络驱动动力学的物理可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在宇宙学对称性下，$f(\mathbb{Q})$ 引力中的联络是否可能成为动力学的，从而导致广义相对论之外的新物理解？
• RQ2 在自由度和场方程方面，$f(\mathbb{Q})$ 宇宙学中的对称性约化联络与 $f(\mathbb{T})$ 宇宙学中的联络有何不同？
• RQ3 $f(\mathbb{Q})$ 宇宙学中是否存在精确的广义相对论解，若存在，其条件是什么？
• RQ4 在 $f(\mathbb{Q})$ 引力的真空解中（即 $\rho = p = 0$），联络是否能驱动非平凡动力学，例如 de Sitter 膨胀？
• RQ5 在 $f(\mathbb{Q})$ 宇宙学中，球面对称联络 $\Gamma^s$ 的作用是什么，它与平坦情况下 $f(\mathbb{T})$ 的场方程有何关联？

主要发现

• 在 $f(\mathbb{Q})$ 宇宙学中，联络变为动力学的，即使在真空中也能驱动任意标度因子演化，例如 de Sitter 膨胀 $a = a_0 \exp\left(\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}t\right)$，这在标准广义相对论中是不可能的。
• 对于 $f(\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}^\kappa$ 且 $\kappa \geq 3$ 的 $f(\mathbb{Q})$ 引力，联络分量 $C_2$ 在真空中可作为暴胀的源，表现出类似流体的行为。
• 在 $f(\mathbb{T})$ 宇宙学中，联络完全由度规决定，不会成为动力学的；其场方程为恒等式，而非动力学约束。
• 在空间平坦情况下，$f(\mathbb{Q})$ 宇宙学中的球面对称联络 $\Gamma^s$ 与 $f\left(\mathbb{T}\right)$ 宇宙学的场方程一致，其中 $\mathbb{T} = \mathbb{Q}$。
• 精确的广义相对论解存在于 $f(\mathbb{Q})$ 宇宙学中，但该理论也支持广义相对论中不存在的、由联络驱动的新型真空解。
• 与 $f(\mathbb{T})$ 中联络固定而无自由度不同，$f(\mathbb{Q})$ 的联络包含可用来生成非广义相对论解的自由函数。