[论文解读] Rewriting in higher dimensional linear categories and application to the affine oriented Brauer category

Clément Alleaume|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文为线性(3,2)-多图开发了一套重写理论，以构造性地证明仿射定向辫子-博尔代尔范畴（AOB）的基定理。通过引入权重函数并证明重写系统的递减性，作者在不依赖终止性的情况下建立了其并归性，从而验证了AOB的态射空间可由正常有序的带点定向辫子-博尔代尔图（含气泡）构成基底。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a rewriting theory of linear monoidal categories. Those categories are a particular case of what we will define as linear (n, p)-categories. We will also define linear (n, p)-polygraphs, a linear adapation of n-polygraphs, to present linear (n -- 1, p)-categories. We focus then on linear (3, 2)-polygraphs to give presentations of linear monoidal categories. We finally give an application of this theory in linear (3, 2)-polygraphs to prove a basis theorem on the category AOB with a new method using a rewriting property defined by van Ostroom: decreasingness.

研究动机与目标

• 为高阶线性范畴，特别是线性(n,p)-范畴与(n,p)-多图建立重写理论。
• 通过重写系统，为仿射定向辫子-博尔代尔范畴（AOB）提供基定理的构造性证明。
• 通过使用递减性这一更强性质替代纽曼引理，克服AOB重写系统中缺乏终止性的问题。
• 通过临界分支分析与递减性，建立线性(3,2)-多图AOB的并归性，确保态射空间具有唯一的规范形。
• 验证正常有序的带点定向辫子-博尔代尔图（含气泡）的基底在AOB中线性无关且张成每个态射空间。

提出的方法

• 本文定义了线性(n,p)-范畴与线性(n,p)-多图，作为n-多图在线性范畴中的适配，用于呈现(n−1,p)-范畴。
• 在AOBℓ₂的2-胞射上引入权重函数τ，以度量复杂度并引导重写向准约化形式进行。
• 利用递减性这一性质分析重写系统，递减性是并归性的推广，不依赖于终止性。
• 通过分析临界分支验证局部并归性，并基于至准约化形式的最短重写路径长度，建立基于良基序的重写步骤递减性证明。
• 重写2-胞射的算法终止于正常有序带点定向辫子-博尔代尔图的线性组合，确保规范形在等价意义下唯一。
• 该证明利用了范·奥斯特鲁姆定理：递减性蕴含并归性，从而可构造AOB的并归表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为仿射定向辫子-博尔代尔范畴（AOB）构建一个重写系统，以实现其基定理的构造性证明？
• RQ2 当重写系统缺乏终止性时（如AOB的情形），如何建立其并归性？
• RQ3 当纽曼引理因非终止性而不适用时，递减性在证明并归性中起到何种作用？
• RQ4 滑动与同伦3-胞射如何影响AOB中重写系统的并归性？
• RQ5 AOB中的每个2-胞射是否都能被重写为唯一规范形，且该规范形对应于一个正常有序的带点定向辫子-博尔代尔图（含气泡）？

主要发现

• 线性(3,2)-多图AOB被证明具有递减性，这即使在无终止性的情况下也蕴含并归性。
• AOB的重写系统经临界分支分析验证为局部并归。
• AOBℓ₂中的每个2-胞射均可被重写为一个准约化2-胞射，其对应于一个正常有序的带点定向辫子-博尔代尔图（含气泡）。
• 正常有序带点定向辫子-博尔代尔图（含气泡）的基底构成AOB中每个态射空间的线性无关生成集。
• 一个准约化2-胞射不会被重写为其他准约化2-胞射的线性组合，从而确保规范形的唯一性。
• AOB的并归性通过递减性得以确立，从而为[BCNR14]中的基定理提供了构造性证明。