[论文解读] Richardson-Gaudin models and broken integrability

Pieter W. Claeys|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Quantum many-body systems参考文献 28被引用 9

一句话总结

本论文提出了一套框架，将可积性技术（尤其是Bethe ansatz）应用于可积与非可积的Richardson-Gaudin模型。通过利用基于本征值的变量和行列式表达式，该方法可在无需求解非线性Bethe方程的情况下，高效计算内积与关联函数，为研究严格可积性之外的量子多体系统提供了稳健方法。

ABSTRACT

This thesis presents an introduction to the class of Richardson-Gaudin integrable models, with special focus on the Bethe ansatz wave function, and investigates ways of applying the properties of Richardson-Gaudin models both in and out of integrability. A framework is outlined for the numerical and theoretical treatment of these systems, exposing a duality allowing the Bethe equations to be solved numerically. This is extended to the calculation of inner products and correlation functions. Using this framework, the influence of particle exchange on the Bethe ansatz is discussed, after which it is shown how the Bethe ansatz is able to accurately model wave functions of non-integrable models in two different settings. First, a variational approach is outlined for stationary models where integrability-breaking perturbations are explicitly introduced. Second, an alternative way of breaking integrability is through the introduction of dynamics and periodic driving, where it is shown how integrability can be used to model the resulting Floquet many-body resonances. Throughout this work, it is shown how the clear-cut structure and relatively large freedom in Richardson-Gaudin models makes them ideal for an investigation of the general principles of integrability, as well as being a perfect testing ground for the development of new quantum many-body techniques beyond integrability.

研究动机与目标

• 通过利用守恒荷本征值与快度的双重参数化方法，发展本征态的表示方式，将Bethe ansatz技术的应用范围从严格可积系统扩展至更广范围。
• 通过采用更易于计算的基于本征值的变量，克服求解高度非线性Bethe方程带来的数值挑战。
• 建立仅依赖于本征值数据的内积与矩阵元的行列式表达式，从而在不显式依赖快度信息的情况下完全表征Bethe态。
• 将基于可积性的方法作为变分工具应用于非可积系统，特别是在受驱动和受微扰的哈密顿量中。
• 通过周期性驱动与粒子交换研究可积性破缺的作用，揭示新的多体共振与相变行为。

提出的方法

• 提出Bethe态的双重参数化：一种基于快度（标准Bethe ansatz），另一种基于守恒荷的本征值，从而提供替代的计算路径。
• 利用基于本征值的变量，推导出内积与关联函数的行列式表达式，避免了求解非线性Bethe方程的需要。
• 建立这些行列式公式与柯西矩阵结构之间的联系，为自旋与玻色子型Richardson-Gaudin模型提供统一的数学框架。
• 应用伪变形形式化方法，建立不同代数之间的联系，使自旋模型的结果可推广至具有玻色自由度的模型。
• 开发一种变分方法——Richardson-Gaudin配置相互作用（Configuration-Interaction）方法，将Bethe态用作非可积系统中的试探波函数。
• 通过将可积性技术应用于有效Floquet哈密顿量，分析周期性驱动系统，识别Bethe态中的多体共振行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于本征值的变量是否能够在不求解非线性Bethe方程的情况下，完全表征Richardson-Gaudin模型中的Bethe态？
• RQ2 能否仅利用本征值数据，构建出内积与矩阵元的行列式表达式？
• RQ3 在非可积量子多体系统中，基于可积性的方法在多大程度上可作为有效的变分工具？
• RQ4 通过周期性驱动导致的可积性破缺，对Bethe态中多体共振结构有何影响？
• RQ5 粒子交换与热库耦合如何改变超导系统中的拓扑相变行为？这些现象能否通过Bethe ansatz技术得到理解？

主要发现

• 基于本征值的变量提供了数值稳定且完整的Bethe态表征方式，使得在无需显式求解快度的情况下，即可计算内积与关联函数。
• 仅基于本征值数据推导出的内积与矩阵元的行列式表达式，建立了与柯西矩阵结构的直接联系，从而实现了高效计算。
• 变分型Richardson-Gaudin配置相互作用方法能准确描述核配对哈密顿量中的集体基态与低激发态，即使在可积性被破坏的微扰后依然有效。
• 在受驱动系统中，可积性技术揭示了Bethe态中的多体共振行为，表明Bethe ansatz可描述Floquet哈密顿量中的非平衡动力学。
• 拓扑超导体与热库耦合导致出现Read-Green共振而非拓扑相变，该机制通过Bethe ansatz分析得以阐明。
• 该框架可通过伪变形方法推广至不同代数结构，包括自旋与玻色子模型，展现出在可积与近可积系统中的广泛适用性。