[论文解读] Riemann-Roch isometries in the non-compact orbifold setting

Gerard Freixas i Montplet, Anna von Pippich|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文建立了在具有尖点和椭圆点处具有奇点庞加莱度量的非紧奇点轨道曲线上平凡层的黎曼–罗赫等距同构，将德利涅和吉勒特–苏莱的工作推广至尖点和椭圆点处的奇异度量。通过使用 Mayer–Vietoris 技术和对模型尖点与锥面的谱计算，推导出一个算术黎曼–罗赫公式，最终以狄利克雷 L-函数的对数导数表示了特殊值 $ Z'(1,  \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $。

ABSTRACT

We generalize work of Deligne and Gillet-Soulé on a Riemann-Roch type isometry, to the case of the trivial sheaf on cusp compactifications of Riemann surfaces $Γ\backslash\mathbb{H}$, for $Γ\subset PSL_{2}(\mathbb{R})$ a fuchsian group of the first kind, equipped with the Poincaré metric. This metric is singular at cusps and elliptic fixed points, and the results of Deligne and Gillet-Soulé do not apply to this setting. Our theorem relates the determinant of cohomology of the trivial sheaf, with an explicit Quillen type metric in terms of the Selberg zeta function of $Γ$, to a metrized version of the $ψ$ line bundle of the theory of moduli spaces of pointed orbicurves, and the self-intersection bundle of a suitable twist of the canonical sheaf $ω_{X}$. We make use of surgery techniques through Mayer-Vietoris formulae for determinants of laplacians, in order to reduce to explicit evaluations of such for model hyperbolic cusps and cones. We derive an arithmetic Riemann-Roch formula, that applies in particular to integral models of modular curves with elliptic fixed points. As an application, we treat in detail the case of the modular curve $X(1)$. From this, we obtain the Selberg zeta special value $Z^{\prime}(1,PSL_{2}(\mathbb{Z}))$ in terms of logarithmic derivatives of Dirichlet $L$ functions. Our work finds its place in the program initiated by Burgos-Kramer-Kühn of extending arithmetic intersection theory to singular hermitian vector bundles.

研究动机与目标

• 将黎曼–罗赫等距同构推广至具有尖点和椭圆点处奇异庞加莱度量的非紧轨道曲面设置。
• 将算术黎曼–罗赫定理推广至度量不光滑的情形，特别是针对具有椭圆固定点的模曲线上的平凡层。
• 对双曲尖点与锥面的拉普拉斯算子的行列式提供严格的谱计算，填补理论物理中的空白。
• 通过狄利克雷 L-函数以解析方法计算特殊值 $ Z'(1, \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $，解决了一个长期存在的开放问题。

提出的方法

• 使用手术技巧与 Mayer–Vietoris 公式处理拉普拉斯算子的行列式，将全局计算约化为局部模型几何：双曲尖点与锥面。
• 应用博斯特的 $ L^1 $-形式化方法与基于 Selberg zeta 函数的 Quillen 型度量，定义上同调的行列式。
• 对模型尖点与锥面几何进行显式谱计算，为不完整的物理计算提供严格方法。
• 通过 Selberg 迹公式的正则化行列式处理非紧与奇异情形。
• 通过结合算术相交理论与谱数据（包括度量化的 $ \psi $-线丛与典范丛自相交）推导算术黎曼–罗赫公式。
• 利用 Chowla–Selberg 公式与 Faltings 高度计算，将特殊值与 L-函数关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼–罗赫等距同构能否推广至在尖点与椭圆点处具有奇异庞加莱度量的非紧轨道曲线上？
• RQ2 在具有椭圆固定点的模曲线上，度量化 $ \psi $-线丛的算术意义是什么？
• RQ3 在奇异度量存在的情况下，平凡层的上同调行列式如何计算，其与 Selberg zeta 函数的关系为何？
• RQ4 $ Z'(1, \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $ 的值是多少，其与狄利克雷特征 L-函数的关系为何？
• RQ5 此处所用的谱方法能否推广至在尖点处具有有限单值 monodromy 的平坦单位酉丛？

主要发现

• 本文将 $ Z'(1, \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $ 计算为狄利克雷 L-函数对数导数的组合，为 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ 的 Selberg zeta 函数提供了解析类数公式。
• 在 $ X(1) $ 上，对平凡层建立了算术黎曼–罗赫公式，其中包含了度量化的 $ \psi $-线丛与典范丛自相交的显式算术度数。
• 线丛 $ \psi_{i,W} $ 的算术度数为 $ 4h_F(E_i) - 2(\sigma_i, \sigma_\rho)_{\text{fin}} + 2\log(4\pi) $，而 $ \psi_{\rho,W} $ 的算术度数为 $ 6h_F(E_\rho) - (\sigma_i, \sigma_\rho)_{\text{fin}} + 3\log(4\pi) $，其中 $ h_F $ 表示 Faltings 高度。
• 通过 Petersson 度量与 Bost–Kühn 结果，计算出 $ \omega_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}/\mathbb{Z}}(D)_{\text{hyp}} $ 的自相交数为 $ -\frac{1}{3}\left(\frac{\zeta'(-1)}{\zeta(-1)} + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{3}\log(2\pi) + \frac{1}{6}\log 2 $。
• $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H} $ 上常值截面 1 的 $ L^2 $-范数为 $ \|1\|_{L^2}^2 = \frac{1}{6} $，因此在算术黎曼–罗赫公式中得到 $ -12\log\|1\|_{L^2} = 6\log 2 + 6\log 3 $。
• 通过 Chowla–Selberg 公式计算了 Quillen 度量中的常数 $ C(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $，将伽马函数值与 $ \zeta'(-1)/\zeta(-1) $ 及 L-函数导数联系起来。