[论文解读] Riemannian foliations of projective space admitting complex leaves

Thomas Murphy|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究复射影空间 ℙⁿ 中具有复叶的黎曼 foliation，证明在 ℙⁿ 的任意开子集上均不存在余维一的复黎曼 foliation。研究结果表明，复子流形仅在特定几何条件下可作为最大维数黎曼 foliation 中的奇点叶出现，具体为全测地 ℙᵏ 或复二次曲面 Qⁿ⁻¹，采用管状邻域分析与曲率爆破论证。

ABSTRACT

Motivated by Gray's work on tube formulae for complex submanifolds of complex projective space equipped with the Fubini-Study metric, Riemannian foliations of projective space are studied. We prove that there are no complex Riemannian foliations of any open subset of $\mathbb{P}^n$ of codimension one. As a consequence there is no Riemannian foliation of the projective plane by Riemann surfaces, even locally. We determine how a complex submanifold may arise as an exceptional leaf of a non-trivial singular Riemannian foliation of maximal dimension. Gray's tube formula is applied to obtain a volume bound for certain holomorphic curves of complex quadrics.

研究动机与目标

• 对 ℙⁿ 中存在复叶的奇点黎曼 foliation 进行分类。
• 确定 ℙⁿ 的全纯 foliation 是否可在开子集上为黎曼 foliation。
• 表征哪些复子流形可作为 ℙⁿ 中最大维数黎曼 foliation 的奇点叶出现。
• 应用 Gray 的管状邻域公式，推导复二次曲面中全纯曲线的体积界。

提出的方法

• 利用黎曼 foliation 理论与沿垂直于叶的测地线的 Jacobi 场分析，研究主曲率。
• 应用 Gray 的管状邻域公式，计算复子流形周围管状邻域的体积。
• 通过测地法截面的 Riccati 方程分析主曲率函数的曲率爆破。
• 利用焦点集必须互不相交且嵌入的条件，对奇点叶之间的距离施加约束。
• 施加复结构相容性条件，强制子流形的主曲率取特定值（±1, 0）。
• 利用主曲率函数如 Cot(θ − r) 在 r = π/4 处爆破（除非 θ = π/2），实现分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在余维一情况下，ℙⁿ 是否可能存在具有复叶的正则黎曼 foliation？
• RQ2 哪些 ℙⁿ 的复子流形可作为最大维数黎曼 foliation 中的奇点叶出现？
• RQ3 在何种几何条件下，复子流形可成为 ℙⁿ 上黎曼 foliation 的焦点集？
• RQ4 能否从管状邻域公式推导出复二次曲面中全纯曲线的体积界？
• RQ5 在 ℙⁿ 的开子集上，是否存在类似于闭流形上的复黎曼 foliation 的刚性结果？

主要发现

• 在 ℙⁿ 的任意开子集上均不存在余维一的复黎曼 foliation，从而排除了通过黎曼曲面对复射影平面实现此类 foliation 的可能性。
• 复子流形仅当其等距同构于全测地 ℙᵏ 或复二次曲面 Qⁿ⁻¹ 时，才可能作为 ℙⁿ 最大维数黎曼 foliation 中的奇点叶出现。
• 此类 foliation 中奇点叶之间的距离必须恰好为 π/2，且主曲率函数在 r = π/4 处爆破，强制特定曲率值。
• 若复子流形具有非零主曲率，则其必须为 ±1 或 0，意味着主曲率恒定，从而可通过 Kimura 的分类列表实现分类。
• 当 r < π/4 时，全纯球面 Γ(ℙ¹) 的管状邻域体积严格小于复二次曲面 Qⁿ⁻¹ 的对应体积，且在 r → π/4 的极限下等号成立。
• 由管状邻域公式导出的体积界表明：当 r → π/4 时，Vol(Γ(ℙ¹)) < (π/n) × [(1 − (1 − 2sin²r)ⁿ) / (sin²r)ⁿ⁻¹ − (n+1)/n × (sin²r)ⁿ]。