[论文解读] Riemannian Geometry of Optimal Rebalancing in Dynamic Weight Automated Market Makers

Matthew Willetts|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2026

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一句话总结

逐步套利损失在动态权重 AMM 中是连续权重向量之间的 KL 散度，使得权重单纯形上的 Fisher–Rao 度量成为自然几何；在 Hellinger 坐标下的 SLERP 提供近似一阶最优再平衡路径，其中点与 AM+GM/normalise 启发式相吻合。

ABSTRACT

In Temporal Function Market Making (TFMM), a dynamic weight AMM pool rebalances from initial to final holdings by creating a series of arbitrage opportunities whose total cost depends on the weight trajectory taken. We show that the per-step arbitrage loss is the KL divergence between new and old weight vectors, meaning the Fisher--Rao metric is the natural Riemannian metric on the weight simplex. The loss-minimising interpolation under the leading-order expansion of this KL cost is SLERP (Spherical Linear Interpolation) in the Hellinger coordinates $η_i = \sqrt{w_i}$, i.e. a geodesic on the positive orthant of the unit sphere traversed at constant speed. The SLERP midpoint equals the (AM+GM)/normalise heuristic of prior work (Willetts & Harrington, 2024), so the heuristic lies on the geodesic. This identity holds for any number of tokens and any magnitude of weight change; using this link, all dyadic points on the geodesic can be reached by recursive AM-GM bisection without trigonometric functions. SLERP's relative sub-optimality on the full KL cost is proportional to the squared magnitude of the overall weight change and to $1/f^2$, where $f$ is the number of interpolation steps.

研究动机与目标

• 在价格恒定与随机的条件下，动权重 AMM 的权重再平衡套利成本的动机与形式化。
• 通过 Fisher–Rao 度量和 KL 散度刻画权重单纯形上的自然黎曼结构。
• 推导 SLERP 作为权重单纯形上的领先阶最优插值，并将其与现有的 AM+GM/normalise 启发式联系起来。
• 给出无需三角函数的递归二分法，在权重步长为 2 的幂时精确计算 SLERP 路径。
• 将框架扩展至漂移无 GBM 的价格，并分析 LVR 暴露如何改变最优步数。

提出的方法

• 将每步套利损失建模为相邻权重向量之间的 KL 散度（定理 2）。
• 将 Fisher–Rao 度量作为权重单纯形上的黎曼结构，并应用 Hellinger 嵌入将其映射到单位球面（η = sqrt(w)）。
• 证明领先阶损失最小化的插值在 Hellinger 坐标下为 SLERP（推论 5）。
• 证明 SLERP 的中点恰好等同于 (AM+GM)/normalise 的中点（定理 6）。
• 推导在幂为二的步数下通过递归二分实现无三角函数的 SLERP 路径计算（推论 7）。
• 扩展至漂移无 GBM 下的随机价格，并证明价格与保留比率无关且交叉项可求和，从而保持再平衡成本的核心结果（命题 1–2；推论 0）。
• 给出一个修正的测地线问题，将 LVR 作为势能并通过在再平衡成本与 LVR 暴露之间取得平衡来导出最优步数 f*（§5 的命题 0）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在重新平衡动态权重 AMM 时，支配套利成本的几何结构是什么？
• RQ2 在 Hellinger 嵌入中的 SLERP 是否能提供权重变化的一阶最优插值？它与 (AM+GM)/normalise 启发式有何关系？
• RQ3 价格动态（漂移无 GBM）如何影响最优再平衡路径与步数？
• RQ4 LVR 暴露对再平衡的最优插值步数有何影响？
• RQ5 在链上是否能高效地无需三角函数地计算 SLERP 路径？

主要发现

• 每步套利损失是相邻权重向量之间的 KL 散度，因此 Fisher–Rao 度量成为权重单纯形的自然几何。
• 领先阶损失最小化的插值在 Hellinger 坐标下为 SLERP，等价于单位球面正分量的常速测地线。
• SLERP 的中点对于任意令牌数与权重变动幅度，恰好匹配 (AM+GM)/normalise 的中点。
• 幂为二的步数下的 SLERP 路径可以通过递归二分实现无三角函数计算。
• SLERP 的在真实 KL 成本上的次优性被界定为 O(Omega^2/f^2)，随着 f 增大而消失，数值上存在实际的小差距。
• 在漂移无 GBM 的价格下，保留比率与价格无关，且跨项求和，保持再平衡成本的核心结果。
• LVR 暴露引入有限的最优步数 f*，在再平衡成本与波动暴露之间取得平衡；最优 f* 时的总成本与 Omega 和 bar{ell}（LVR 速率）相关。