[论文解读] Riemannian geometry on the quantomorphism group

David G. Ebin, Stephen C. Preston|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文建立了流形 $M$ 上保持接触形式 $\theta$ 的量子化微分同胚群 $π_q(M)$ 的黎曼几何。它定义了一个黎曼度量，推导出测地线方程，并在索博列夫空间中证明了全局存在性与初始条件的光滑依赖性。关键贡献在于表明，测地线方程在特殊情形（如在 $S^3$ 上）可约化为简化的准地转方程，且 $S^2$ 上的完整准地转方程可作为李代数中心扩张上的欧拉-阿诺尔德方程出现，其全局解在相同正则性条件下被保持。

ABSTRACT

We are interested in the geometry of the group $\mathcal{D}_q(M)$ of diffeomorphisms preserving a contact form $θ$ on a manifold $M$. We define a Riemannian metric on $\mathcal{D}_q(M)$, compute the corresponding geodesic equation, and show that solutions exist for all time and depend smoothly on initial conditions. In certain special cases (such as on the 3-sphere), the geodesic equation is a simplified version of the quasigeostrophic equation, so we obtain a new geodesic interpretation of this geophysical system. We also show that the genuine quasigeostrophic equation on $S^2$ can be obtained as an Euler-Arnold equation on a one-dimensional central extension of $T_{\id}\mathcal{D}_q(M)$, and that our global existence result extends to this case. If $E$ is the Reeb field of $θ$ and $μ$ is the volume form, assumed compatible in the sense that $ ext{div} E=0$, we show that $\mathcal{D}_q(M)$ is a smooth submanifold of $\mathcal{D}_{E,μ}(M)$, the space of diffeomorphisms preserving the vector field $E$ and the volume form $μ$, in the sense of $H^s$ Sobolev completions. The latter manifold is related to symmetric motion of ideal fluids. We further prove that the corresponding geodesic equations and projections are $C^{\infty}$ objects in the Sobolev topology.

研究动机与目标

• 发展量子化微分同胚群 $\mathcal{D}_q(M)$ 的黎曼几何，即保持接触形式 $\theta$ 的微分同胚群。
• 在 $\mathcal{D}_q(M)$ 上定义一个黎曼度量，并在索博列夫完备化背景下推导其对应的测地线方程。
• 在 $H^s$ 索博列夫拓扑中建立测地流的全局存在性与初始条件的光滑依赖性。
• 证明 $\mathcal{D}_q(M)$ 上的测地线方程在特定情形（如在 $S^3$ 上）可约化为简化准地转方程，并将 $S^2$ 上的完整准地转方程与该李代数的中心扩张上的欧拉-阿诺尔德方程联系起来。
• 证明在 $H^s$ 拓扑下，量子化微分同胚群 $\mathcal{D}_q(M)$ 是保持李雷布场 $E$ 与体积形式 $\mu$ 的体积微分同胚群 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 的光滑子流形。

提出的方法

• 使用体积形式 $\mu = \theta \wedge (d\theta)^n$ 的 $L^2$ 内积，在与接触分布相切的向量场的李代数 $\mathfrak{X}_q(M)$ 上定义一个黎曼度量。
• 通过欧拉-阿诺尔德形式化推导测地线方程，将其表示为 $\partial_t S_\theta f + \nabla_{S_\theta f} S_\theta f = -\nabla \Delta_\theta f$，其中 $S_\theta f$ 是与 $f$ 关联的哈密顿向量场。
• 利用索博列夫能量估计来控制 $\|\Delta_\theta f\|_{H^{s-1}}$，借助交换子估计与 $\|S_\theta f\|_{C^1}$ 的有界性，证明在 $s > \dim M/2 + 1$ 时于 $H^s$ 中具有统一控制与全局存在性。
• 通过一个函数 $\varphi$（例如 $S^2$ 上的高度函数）构造李代数 $T_{\text{id}}\mathcal{D}_q(M)$ 的一维中心扩张，以将完整准地转方程建模为欧拉-阿诺尔德方程。
• 利用 $\mathcal{D}_q(M)$ 在 $\operatorname{div} E = 0$ 条件下同时保持 $E$ 与 $\mu$ 的事实，证明在 $H^s$ 拓扑下 $\mathcal{D}_q(M)$ 是 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 的光滑子流形。
• 通过证明 $C^\infty$ 初始数据生成 $C^\infty$ 测地线（利用高阶索博列夫范数中的唯一性与逼近），建立测地线方程与投影在索博列夫拓扑下为 $C^\infty$ 对象。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在量子化微分同胚群 $\mathcal{D}_q(M)$ 上一致地定义黎曼度量？该几何下的测地线方程是什么？
• RQ2 在索博列夫空间 $H^s$ 中，$\mathcal{D}_q(M)$ 上的测地线方程是否具有全局存在性与初始条件的光滑依赖性？
• RQ3 在特定度量下，$S^3$ 上的简化准地转方程是否可作为 $\mathcal{D}_q(M)$ 上的测地流导出？
• RQ4 $S^2$ 上的完整准地转方程是否可实现为 $\mathcal{D}_q(M)$ 的李代数中心扩张上的欧拉-阿诺尔德方程？
• RQ5 在 $H^s$ 拓扑下，量子化微分同胚群 $\mathcal{D}_q(M)$ 是否为保持李雷布场与体积形式的微分同胚群 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 的光滑子流形？

主要发现

• 在 $s > \dim M/2 + 1$ 的 $H^s$ 索博列夫空间中，$\mathcal{D}_q(M)$ 上的测地线方程是全局适定的，解对所有时间存在且对初始条件光滑依赖。
• 在 $S^3$ 上配备伯杰度量时，测地线方程约化为简化准地转方程 $ (\Delta f - \alpha^2 f)_t + \{f, \Delta f\} = 0 $，为这一地球物理模型提供了新的几何解释。
• $S^2$ 上的完整准地转方程 $ (\Delta f - \alpha^2 f)_t + \{f, \Delta f - \beta \cos\theta\} = 0 $ 可作为 $T_{\text{id}}\mathcal{D}_q(M)$ 的一维中心扩张上的欧拉-阿诺尔德方程出现，其中扩张参数与科里olis参数 $\beta$ 相关联。
• 通过将简化情形中使用的能量估计技术扩展至完整情形，建立了 $S^2$ 上完整准地转方程的全局存在性，其关键在于对位势涡度 $\Delta_\theta f - \alpha^2 f - \beta \cos\theta$ 的统一有界性。
• 在 $\operatorname{div} E = 0$ 条件下，$\mathcal{D}_q(M)$ 是 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ 在 $H^s$ 拓扑下的光滑子流形，且包含映射为 $C^\infty$。
• 由唯一性与高阶索博列夫范数中的逼近性，从 $C^\infty$ 初始数据出发的测地线对所有时间均为 $C^\infty$，从而确认了在 $C^\infty$ 拓扑下流的光滑性。