[论文解读] Rigidity hierarchy in random point fields: random polynomials and determinantal processes

Subhroshekhar Ghosh, Manjunath Krishnapur|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文在随机点过程的框架下提出了一种刚性层次结构，建立了在何种条件下，某一区域内的统计特征（如点数或质心）由该区域外部的配置所决定。研究证明，当且仅当其核为投影算子时，行列式点过程才表现出刚性，并构造了一个单参数族的点过程，展示了任意高的刚性水平，从而解决了关于局部质量与质心之外更高阶刚性的开放性问题。

ABSTRACT

In certain point processes, the configuration of points outside a bounded domain determines, with probability 1, certain statistical features of the points within the domain. This notion, called rigidity, was introduced in a work of Ghosh and Peres. In this paper, rigidity and the related notion of tolerance are examined systematically and point processes with rigidity of various degrees are introduced. Natural classes of point processes such as determinantal point processes, zero sets of Gaussian entire functions and perturbed lattices are examined from the point of view of rigidity, and general conditions are provided for them to exhibit specified nature of spatially rigid behaviour. In particular, we examine the rigidity of determinantal point processes in terms of their kernel, and demonstrate that a necessary condition for determinantal processes to exhibit rigidity is that their kernel must be a projection. We introduce a one parameter family of point processes which exhibit arbitrarily high levels of rigidity (depending on the choice of parameter value), answering a natural question on point processes with higher levels of rigidity (beyond the known examples of rigidity of local mass and center of mass). Our one parameter family is also related to a natural extension of the standard planar Gaussian analytic function process and their zero sets.

研究动机与目标

• 系统分析随机点过程中的刚性与容差，将概念扩展至已知例子（如Ginibre系族和高斯整函数）之外。
• 识别行列式点过程表现出刚性的普遍条件，特别关注其核的作用。
• 解决关于存在具有任意高刚性水平的点过程（超越局部质量与质心）的开放性问题。
• 通过反例与概率构造，厘清容差、强容差与刚性之间的区别。

提出的方法

• 在局部紧致、第二可数的Hausdorff空间上，为点过程中的刚性与容差建立正式框架，使用由外部与内部配置生成的σ-代数。
• 将刚性定义为：在区域D内的点配置的可测泛函，可测于其补集Dc中的配置。
• 应用条件分布与相互绝对连续性的概念，以区分容差、强容差与刚性。
• 利用核的谱理论分析行列式点过程，证明刚性仅在核为投影算子时发生。
• 通过行列式过程的扰动构造一个单参数族点过程，表明可通过参数调节刚性水平。
• 利用泊松与Ginibre过程混合的反例，展示容差、强容差与刚性之间存在严格层次关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 行列式点过程的核满足何种条件，可使其在有界区域中表现出点数的刚性？
• RQ2 能否构造出具有任意高刚性水平的点过程，超越已知的局部质量与质心情形？
• RQ3 容差、强容差与刚性之间的关系如何？能否在一个点过程中严格区分这三者？
• RQ4 是否存在平面高斯解析函数过程的自然推广，其零点集表现出更高阶刚性？
• RQ5 核的投影性质在决定行列式点过程的刚性中起何种作用？

主要发现

• 行列式点过程表现出刚性的必要条件是其核必须为投影算子。
• 本文构造了一个单参数族点过程，其刚性水平可随参数值调节，从而回答了关于更高阶刚性的开放性问题。
• 对于行列式过程，区域D内点数的刚性成立，当且仅当其核为投影算子。
• 规范高斯整函数的零点集与无限Ginibre系族均表现出点数的刚性，且在GAF情形下，还表现出质心的刚性。
• 本文通过Z上的2-依赖过程证明，即使在遍历性、混合性与尾部平凡性条件下，容差也不蕴含强容差。
• 反例表明，刚性可在无强容差时发生，且强容差即使在容差成立时也可能失败，从而确立了这三者之间的严格层次关系。