[论文解读] Rigidity in dynamics and Möbius disjointness

Adam Kanigowski, Mariusz Lemańczyk+1 more|CaltechAUTHORS (California Institute of Technology)|May 30, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 13

一句话总结

本论文证明，满足特定刚性条件的拓扑动力系统——无论是有界素数体积刚性，还是在稠密子集上的多项式刚性——均满足Sarnak关于Möbius函数不相交性的猜想。核心贡献是一个通用判据，该判据恢复并扩展了先前结果，证明了区间交换映射、$C^{2+ ho}$光滑旋转上的斜积系统以及环面上光滑流的Möbius不相交性。

ABSTRACT

Let $(X, T)$ be a topological dynamical system. We show that if each invariant measure of $(X, T)$ gives rise to a measure-theoretic dynamical system that is either: a. rigid along a sequence of "bounded prime volume" or b. admits a polynomial rate of rigidity on a linearly dense subset in $C(X)$, then $(X, T)$ satisfies Sarnak's conjecture on Möbius disjointness. We show that the same conclusion also holds if there are countably many invariant ergodic measures, and each of them satisfies a. or b. This recovers some earlier results and implies Sarnak's conjecture in the following new cases: for almost every interval exchange map of $d$ intervals with $d \geq 2$, for $C^{2+ε}$-smooth skew products over rotations and $C^{2+ε}$-smooth flows (without fixed points) on the torus. In particular, these are improvements of earlier results of respectively Chaika-Eskin, Wang and Huang-Wang-Ye. We also discuss some purely arithmetic consequences for the Liouville function.

研究动机与目标

• 建立拓扑动力系统满足Sarnak关于Möbius不相交性猜想的充分条件。
• 将已知的Möbius不相交性结果推广至新系统类别，包括区间交换映射和光滑斜积系统。
• 构建一个将测度论刚性与Möbius函数算术性质相联系的一般性框架。
• 提出一种超越DDKBSZ判据的新Möbius不相交性判据，适用于具有可数个遍历测度的系统。

提出的方法

• 引入‘有界素数体积’刚性的概念，通过整数$q$的素因子之和$\sum_{p|q} 1/p$定义，并将$\mathcal{D}_j$定义为素数体积小于$j$的整数集合。
• 定义两种刚性类型：(a) 有界素数体积（BPV）刚性，以及 (b) 在$C(X)$的线性稠密子集上的多项式速率刚性（PR刚性）。
• 使用Matomäki-Radziwiłł定理在算术级数上关于Möbius函数短区间平均的变体，该变体可处理具有受控素数体积的短区间。
• 以修改形式应用Daboussi-Delange-Kátai-Bourgain-Sarnak-Ziegler判据，利用刚性条件下轨道平均的结构。
• 利用Tietze扩张定理与测度论同构，将符号模型的性质转移至原系统。
• 为具有良好轨道结构的系统建立强$\mathbf{u}$-OMO性质，从而控制加权遍历平均。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种不变测度条件下，拓扑动力系统$(X,T)$满足Sarnak关于Möbius不相交性的猜想？
• RQ2 有界素数体积刚性或多项式速率刚性是否能推出Möbius不相交性？
• RQ3 若存在可数个遍历不变测度，且每个测度均满足BPV或PR刚性，是否足以保证Möbius不相交性？
• RQ4 该结果能否应用于光滑动力系统，如区间交换映射和$C^{2+\epsilon}$光滑旋转上的斜积系统？
• RQ5 这些动力学结果对Liouville函数的算术性质有何影响？

主要发现

• 若拓扑动力系统$(X,T)$的每个不变测度所诱导的系统均为BPV刚性或PR刚性，则$(X,T)$满足Sarnak猜想。
• 该结果适用于几乎所有具有$d \geq 2$个区间的区间交换映射，恢复并改进了Chaika-Eskin的早期结果。
• 该猜想对$C^{2+\epsilon}$光滑旋转上的斜积系统成立，推广了Wang的结果。
• 该猜想也适用于环面上无不动点的$C^{2+\epsilon}$光滑流，改进了Huang-Wang-Ye的结果。
• 本文证明了素数体积小于$j$的整数集合$\mathcal{D}_j$具有自然密度$d(\mathcal{D}_j) \to 1$当$j \to \infty$，这对技术分析至关重要。
• 作者证明了具有可数个遍历测度、且每个测度均满足BPV或PR刚性的系统是Möbius不相交的，将先前结果推广至更广泛的系统类别。