[论文解读] Rigidity of action of compact quantum groups on compact, connected manifolds

Debashish Goswami, Soumalya Joardar|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 19

一句话总结

本文证明，若一个紧致量子群在紧致、连通、光滑流形上光滑且等距地作用，并保持黎曼结构，则该量子群必为交换的，即同构于经典紧致群的函数代数。该结果揭示了一种类刚性现象：非交换的量子群除非退化为经典群，否则无法在这样的流形上等距作用。

ABSTRACT

Suppose that a compact quantum group $\clq$ acts faithfully on a smooth, compact, connected manifold $M$ such that the action $\alpha$ is smooth, i.e. it leaves $C^\infty(M)$ invariant and the linear span of $\alpha(C^\infty(M))(1 \ot \clq)$ is Fr\'echet-dense in $C^\infty(M,\clq)$. % and (ii) %%the action $\alpha_r:=({ m id} \ot \pi_r)\circ \alpha$ of the reduced quantum group $\clq_r$ is injective (which is equivalent to %the existence of some $\alpha$-invariant faithful positive Borel measure on $C(M)$). We prove that if the action is isometric in the sense of \cite{Goswami} some Riemannian structure on $M$ then $\clq$ must be commutative as a $C^{*}$ algebra i.e. $\clq\cong C(G)$ for some compact group $G$ acting smoothly on $M$. Along the way, we develop several general techniques to study smooth actions of compact quantum groups, proving in particular (i) injectivity of the reduced action and (ii) equivalence of existence of some Riemannian structure for which is preserved by the action and the possibility of a suitable `lift' of the action as a well-defined, Frechet-continuous bimodule-morphism on the $C^\infty(M)$-bimodule $\Omega^1(M)$ of smooth one-forms. As a consequence, the quantum isometry group of any noncommutative Riemannian manifold obtained by cocycle twisting of a compact connected Riemannian manifold is isomorphic with similar cocycle twisted quantum version of the classical isometry group of the manifold.

研究动机与目标

• 确立紧致量子群在光滑流形上作用必须退化为经典群作用的条件。
• 研究紧致、连通黎曼流形上紧致量子群的光滑、等距作用的含义。
• 发展分析紧致量子群在流形上光滑作用的一般技术。
• 阐明不变黎曼结构的存在性与作用在光滑一形式模上的可提升性之间的关系。
• 刻画通过经典黎曼流形的上循环扭变得到的流形的量子等距群。

提出的方法

• 引入并分析紧致量子群在 $C^\infty(M)$ 上的光滑作用，要求像在 $C^\infty(M, \clq)$ 中具有不变性与弗雷chet稠密性。
• 通过存在一个不变的忠实正博雷尔测度，证明约化作用 $\alpha_r = (\text{id} \ot \pi_r) \circ \alpha$ 的单射性。
• 建立存在 $\alpha$-不变黎曼度量与在 $C^\infty(M)$-双模 $\Omega^1(M)$ 上存在良定义的弗雷chet连续双模同态之间等价性。
• 利用戈斯瓦米提出的等距作用条件，将量子群代数限制为交换的。
• 应用非交换几何中的技术，特别是微分演算与双模结构理论，分析作用在微分形式上的行为。
• 分析上循环扭变流形的量子等距群，证明其同构于原始流形经典等距群的扭变版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，紧致量子群可光滑且等距地作用于紧致、连通、光滑流形？
• RQ2 不变黎曼度量的存在性对作用于流形上的量子群施加了何种结构约束？
• RQ3 作用在光滑函数上的性质与其在光滑一形式模上的提升之间有何关联？
• RQ4 非交换的量子群能否在经典黎曼流形上等距作用，还是必须为交换的？
• RQ5 上循环扭变黎曼流形的量子等距群具有何种结构？

主要发现

• 若紧致量子群光滑且等距地作用于紧致、连通、光滑流形，则该量子群作为 $C^*$-代数必为交换的。
• 作用为等距意味着该量子群同构于某个紧致群 $G$ 的 $C(G)$，其中 $G$ 光滑作用于 $M$。
• 存在 $\alpha$-不变黎曼度量等价于存在一个良定义的、弗雷chet连续的双模同态，其扩张了作用在 $\Omega^1(M)$ 上。
• 约化作用 $\alpha_r$ 为单射，当且仅当在 $C(M)$ 上存在一个忠实的 $\alpha$-不变正博雷尔测度。
• 上循环扭变黎曼流形的量子等距群同构于原始流形经典等距群的上循环扭变版本。
• 在作用下 $C^\infty(M)$ 的光滑性与不变性，结合弗雷chet稠密性，确保了量子群结构受到严格约束。