[论文解读] Rigidity of graphs of germs and homomorphisms between full groups

Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 52被引用 9

一句话总结

本文建立了康托集上étale群胚全群的拓扑刚性现象：交替全群在紧致空间上的作用要么具有全局固定芽，要么由群胚本身诱导。关键结果是，某些群胚全群之间的嵌入由群胚同态诱导，推广了同构刚性，并通过轨道增长和复杂度函数等不变量提供了新的障碍。

ABSTRACT

We study topological full groups of \'etale groupoids and show that they satisfy new rigidity phenomena of topological dynamical nature. If $\mathcal{G}$ is a minimal groupoid of germs on the Cantor set, actions of the (alternating) full group of $\mathcal{G}$ on compact spaces satisfy the following dichotomy: either there is a point such that no element has trivial germ at that point, or the action is induced from an action of a (reduced) power of the groupoid $\mathcal{G}$. This dichotomy is a simoultaneous generalisation of the fact that isomorphisms of full groups are implemented by isomorphisms of the underlying groupoids, and of the simplicity of the alternating full group. Using this result we obtain that, for a vast class of groupoids (defined in terms of the geometry of their Cayley graphs), not only isomorphisms but all embeddings between the full groups are induced from the groupoids in a suitable sense. We also show that various quantitative invariants of \'etale groupoids, such as the orbital growth and the complexity function, can be used to produce obstructions to the existence of embeddings. A key tool in the proofs is a characterisation of the subgroups of the full group whose conjugacy class does not accumulate on the trivial subgroup in the Chabauty topology. As another application, we provide the first examples of finitely generated groups that do not admit infinite Schreier graphs that grow uniformly subexponentially, but do admit co-amenable subgroups of infinite index.

研究动机与目标

• 建立康托集上极小芽群胚的（交替）全群在紧致空间上作用的拓扑动力二分法。
• 将已知的全群之间同构的刚性推广到所有嵌入（而不仅是同构）的刚性。
• 利用群胚的几何不变量（如轨道增长和复杂度函数）作为全群之间嵌入的障碍。
• 刻画全群中其共轭类在Chabauty拓扑下不向平凡子群累积的子群。
• 构造具有无限指数共余子群但无任何均匀亚指数增长Schreier图的有限生成群的新例子。

提出的方法

• 分析交替全群在紧致空间上的作用，以建立二分法：要么存在某点使得无元素具有平凡芽，要么该作用由底层群胚的（约化）幂诱导。
• 利用Chabauty拓扑刻画全群中其共轭类不向平凡子群累积的子群。
• 将二分法应用于证明：满足特定几何条件（以Cayley图几何为条件）的群胚全群之间的嵌入均由群胚同态诱导。
• 引入étale群胚的定量不变量，如轨道增长和复杂度函数，以阻碍全群之间嵌入的存在性。
• 构造具有无限指数共余子群但无任何无限Schreier图均匀亚指数增长的有限生成群。
• 利用芽群胚及其全群的结构，通过拓扑动力学与群论技术推导出刚性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，étale群胚全群之间的嵌入由底层群胚的同态诱导？
• RQ2 群胚Cayley图的几何性质如何约束其全群之间嵌入的存在性？
• RQ3 étale群胚的轨道增长和复杂度函数能否作为群嵌入的障碍？
• RQ4 如何刻画全群中其共轭类在Chabauty拓扑下不向平凡子群累积的子群？
• RQ5 是否存在具有无限指数共余子群但无任何均匀亚指数增长Schreier图的有限生成群？

主要发现

• 交替全群在紧致空间上的作用满足二分法：要么存在某点使得无元素具有平凡芽，要么该作用由（约化）底层群胚的幂诱导。
• 对于由其Cayley图几何定义的广泛群胚类，其全群之间的所有嵌入均由群胚同态诱导。
• étale群胚的轨道增长和复杂度函数为全群之间嵌入的存在性提供了有效的障碍。
• 本文刻画了全群中其共轭类在Chabauty拓扑下不向平凡子群累积的子群。
• 作者构造了首个具有无限指数共余子群但无任何无限Schreier图均匀亚指数增长的有限生成群的新例子。
• 结果将已知的全群同构刚性推广到更广泛的嵌入类，确立了一种新的拓扑刚性形式。