[论文解读] Rigidity of groups of circle diffeomorphisms and Teichmüller spaces

Katsuhiko Matsuzaki|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文通过分析具有 Hölder 连续导数的圆周微分同胚群在配备 Weil–Petersson 度量的可积 Teichmüller 空间上的作用，建立了这些群的刚性结果。证明了此类群在等距作用下具有不动点，从而给出了通过相同正则性的微分同胚共轭到 Möbius 群的充分条件。

ABSTRACT

We consider deformations of a group of circle diffeomorphisms with Hölder continuous derivatives in the framework of quasiconformal Teichmüller theory and show certain rigidity under conjugation by symmetric homeomorphisms of the circle. As an application, we give a condition for such a diffeomorphism group to be conjugate to a Möbius group by a diffeomorphism of the same regularity. The strategy is to find a fixed point of the group which acts isometrically on the integrable Teichmüller space with the Weil-Petersson metric.

研究动机与目标

• 研究在对称同胚共轭下，具有 Hölder 连续导数的圆周微分同胚群的刚性。
• 确定此类群通过相同正则性的微分同胚共轭到 Möbius 群的条件。
• 通过 Weil–Petersson 度量证明在群作用下，可积 Teichmüller 空间中存在不动点。
• 将拟共形 Teichmüller 理论的框架扩展至包含 $ T_0^\alpha $ 空间（即 $ C^{1+\alpha} $ 微分同胚模 Möbius 变换）。
• 在 $ p $-可积 Beltrami 系数空间上定义并分析 $ p $-Weil–Petersson 度量，作为 Teichmüller 空间上的 Finsler 结构。

提出的方法

• 利用拟对称群 $ \operatorname{QS} $ 在全纯 Teichmüller 空间 $ T $ 上的作用，将其识别为 $ \operatorname{M\ddot{o}b}(\mathbb{S}^1)\backslash \operatorname{QS} $。
• 引入子空间 $ T_0^\alpha = \operatorname{M\ddot{o}b}(\mathbb{S}^1)\backslash \operatorname{Diff}^{1+\alpha}_+(\mathbb{S}^1) $，作为 $ T $ 的子空间，对应于 $ C^{1+\alpha} $ 微分同胚。
• 定义在单位圆盘边界附近具有 $ O(t^\alpha) $ 衰减的 Beltrami 系数空间 $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $，其在 Teichmüller 投影下的像为 $ T_0^\alpha $。
• 通过 Bers 嵌入和 Schwarz 导数的 $ L^p $-范数，构造 $ p $-可积 Beltrami 系数空间 $ T^p $ 上的 $ p $-Weil–Petersson 度量 $ d_{WP}^p $。
• 通过右平移映射 $ R^*_\varphi $ 的微分收敛估计，利用控制收敛定理和 Beltrami 系数的统一有界性，证明 $ p $-Weil–Petersson 度量的连续性。
• 应用压缩映射原理和对 $ \|\mu_n\|_p $ 的一致估计，证明该度量是良定义且连续的，其依据为 $ \|\mu_{i-1}\|_\infty $ 的衰减性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ C^{1+\alpha} $ 圆周微分同胚群可通过 $ C^{1+\alpha} $ 微分同胚共轭到 Möbius 群？
• RQ2 在 Weil–Petersson 度量下，$ C^{1+\alpha} $ 微分同胚群在可积 Teichmüller 空间 $ T_0^\alpha $ 上的作用是否具有不动点？
• RQ3 $ p $-Weil–Petersson 度量在 $ p $-可积 Beltrami 系数空间上的行为如何？是否连续？
• RQ4 Beltrami 系数在边界附近的衰减速率与对应微分同胚的正则性之间有何关系？
• RQ5 群在 $ T_0^\alpha $ 上的等距作用在多大程度上蕴含共轭问题中的刚性？

主要发现

• 当且仅当群 $ G \subset \operatorname{Diff}^{1+\alpha}_+(\mathbb{S}^1) $ 在配备 Weil–Petersson 度量的可积 Teichmüller 空间 $ T_0^\alpha $ 上作用等距时，它在 $ T_0^\alpha $ 中具有不动点。
• $ p $-Weil–Petersson 度量 $ d_{WP}^p $ 在 $ T^p $ 上是连续的，这由微分 $ d_\varphi R^*_\varphi $ 沿 $ \varphi \to 0 $ 时在 $ L^p $-范数下收敛到单位算子所证明。
• 对任意 $ \widetilde{\varepsilon} > 0 $，存在 $ r \in (0,1) $，使得当 $ \varphi $ 足够小时，右平移微分与单位算子之差的 $ p $-范数有界于 $ 3\widetilde{\varepsilon} $，从而证明了连续性。
• 对任意 $ \mu_n \in \operatorname{Ael}^p(\mathbb{D}) $ 满足 $ \pi(\mu_n) = \tau_n = \tau $，有估计 $ \|\mu_n\|_p \leq C'\delta_p n $，其中 $ C' $ 仅依赖于 $ n $，该估计将度量与 Beltrami 系数的增长联系起来。
• 微分 $ d_\varphi R^*_\varphi $ 满足 $ \|d_\varphi R^*_\varphi(\psi) - \psi\|_p \to 0 $ 当 $ \varphi \to 0 $ 时，通过控制收敛定理和一致有界性确认了度量的连续性。
• $ d_{WP}^p $ 是 $ T^p $ 上良定义的 Finsler 度量，其中 Schwarz 导数的 $ L^p $-范数在构造和连续性证明中起核心作用。