[论文解读] Rigidity of high dimensional graph manifolds

Roberto Frigerio, Jean‐François Lafont+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 89被引用 16

一句话总结

本文引入了高维图流形——即通过边界环面的仿射映射粘合的、可分解为环面与有限体积双曲流形（维度≥3）乘积的紧致光滑流形。在维度≥6时，本文证明了Borel猜想成立，且实现了光滑刚性：同伦等价意味着微分同胚。关键贡献在于建立了不可约图流形的拟等距刚性定理，表明任何与基本群拟等距的群，其群结构均继承自原始流形分解的图群结构，且极为接近原结构。

ABSTRACT

We define the class of high dimensional graph manifolds. These are compact smooth manifolds supporting a decomposition into finitely many pieces, each of which is diffeomorphic to the product of a torus with a finite volume hyperbolic manifold with toric cusps. The various pieces are attached together via affine maps of the boundary tori. We require all the hyperbolic factors in the pieces to have dimension at least 3. Our main goal is to study this class of graph manifolds from the viewpoint of rigidity theory. We show that, in high dimensions, the Borel conjecture holds for our graph manifolds. We also show that smooth rigidity holds within the class: two graph manifolds are homotopy equivalent if and only if they are diffeomorphic. We introduce the notion of irreducible graph manifolds, which form a subclass which has better coarse geometric properties. We establish some structure theory for finitely generated groups which are quasi-isometric to the fundamental group of an irreducible graph manifold: any such group has a graph of groups splitting with strong constraints on the edge and vertex groups. Finally, we prove that in every dimension >3 there exist examples of irreducible graph manifolds which do not support any locally CAT(0) metric.

研究动机与目标

• 定义并系统研究一类新的高维图流形，将其从三维流形图流形推广至高维。
• 在维度≥6时，证明该类流形满足Borel猜想。
• 证明光滑刚性：若两个此类图流形同伦等价，则当且仅当它们微分同胚。
• 引入不可约图流形的概念，并通过基本群的拟等距嵌入分析其粗几何性质。
• 对与自由交换群和SO(n,1)中的非一致格的乘积拟等距的群进行分类，并建立与不可约图流形基本群拟等距的群的结构定理。

提出的方法

• 将高维图流形定义为紧致光滑流形，其分解为微分同胚于$T^d \times N_i$的块，其中每个$N_i$为维度≥3的有限体积双曲$n_i$-流形，通过边界环面上的仿射映射粘合。
• 利用拟等距不变量与渐近锥技术分析基本群的粗几何，特别关注墙子群与块子群的拟保持性质。
• 应用相对双曲群与渐近树状结构的结果，证明拟等距映射在有限Hausdorff距离内保持块分解结构。
• 建立块的QI刚性：任何与$\pi_1(N) \times \mathbb{Z}^d$拟等距的群，均为某有限覆盖$N'$的$\pi_1(N')$的有限扩张的有限指数中心扩张。
• 利用Bass-Serre理论证明：若一个群与不可约图流形的基本群拟等距，则其具有图群结构，且顶点群与边群受到严格约束。
• 构造出不具有任何局部CAT(0)度量的图流形例子，表明在此类设定中，非正曲率假设不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度≥6时，高维图流形是否满足Borel猜想？
• RQ2 在高维图流形类中是否满足光滑刚性：同伦等价是否蕴含微分同胚？
• RQ3 拟等距映射如何作用于不可约图流形基本群？是否可用于重构其底层图群分解？
• RQ4 与$\pi_1(N) \times \mathbb{Z}^d$拟等距的群（其中$N$为维度≥3的有限体积双曲$n$-流形）具有何种结构？
• RQ5 是否可通过子群的拟等距嵌入刻画不可约图流形的粗几何？这些嵌入对基本群施加了何种约束？

主要发现

• 在维度≥6时，高维图流形满足Borel猜想：一个流形同伦等价于此类图流形，当且仅当它与之同胚。
• 光滑刚性成立：两个高维图流形同伦等价，当且仅当它们微分同胚。
• 对于不可约图流形，块（墙）的基本群在拟等距意义下被嵌入，且拟等距映射在有限Hausdorff距离内保持块分解结构。
• 任何与不可约图流形基本群拟等距的群，均具有图群结构，且边群包含$\mathbb{Z}^{n-1}$作为有限指数子群。
• 与$\pi_1(N) \times \mathbb{Z}^d$拟等距的群，为某有限覆盖$N'$的$\pi_1(N')$的有限扩张的有限指数中心扩张。
• 存在高维图流形不具有任何局部CAT(0)度量，表明非正曲率并非刚性结果成立的必要条件。