[论文解读] Rigidity of locally free Lie group actions and leafwise cohomology

Shigenori Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文利用叶层上同调作为关键工具，建立了阿贝尔群和可解李群在光滑流形上局部自由作用的参数刚性条件。证明了当群作用源自具有不可约矩阵和不良逼近本征值的双曲自同构时，该作用是参数刚性的；在额外的正则性条件下，该作用是$C^\infty$刚性的。结果可推广至叶层的极小性，并与使叶层成为极小曲面的黎曼度量的存在性相关联。

ABSTRACT

Relations between parameter rigidity of locally free Lie group actions on closed manifolds and the 1st leafwise cohomology of the orbit foliations are discussed. Some computational results of the leafwise cohomology are included.

研究动机与目标

• 建立阿贝尔群和可解李群在光滑流形上局部自由作用的参数刚性的充分条件。
• 研究叶层上同调在刻画群作用和轨道叶层刚性中的作用。
• 确定此类作用在何种情况下是$C^\infty$刚性的，特别是与相关线性单值(monodromy)的谱性质的关系。
• 探讨刚性的几何意义，尤其是存在黎曼度量使所有叶层成为极小曲面的可能性。

提出的方法

• 为由局部自由李群作用产生的叶层定义叶层上同调，使用在作用下不变的微分形式。
• 利用叶层体积形式可延拓为流形上闭形式的上同调条件，来判断叶层的极小性。
• 应用$C^\infty$动力系统和叶层理论的结果，特别是El Kacimi与Nicolau的轨道叶层刚性定理。
• 分析流在横截面上的首次返回时间函数，将参数刚性问题转化为形如$f = g \circ R_\alpha - g + c$的上同调方程。
• 利用本征值的数论条件（不良逼近）确保上同调方程的可解性，从而保证参数刚性。
• 将同态$r_*: H^p(M;\mathbb{R}) \to H^p(\mathcal{F})$的满射性作为叶层整体极小化的判据。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可解李群在闭流形上的局部自由作用是参数刚性的？
• RQ2 叶层上同调如何与群作用的刚性及不变黎曼度量的存在性相关联？
• RQ3 在环面上的线性叶层何时是整体极小化的？斜率矩阵的丢番图逼近类型起什么作用？
• RQ4 在$C^\infty(M)$中，子空间$\{Y(f)\}$与$\{S(f)\}$的和是否闭合？这对叶层的几何有何含义？

主要发现

• Ghys证明了，对双曲$SL(2,\mathbb{Z})$-自同构的2-环面的映射环面，其局部自由$GA$-作用是全局刚性的。
• 在2-环面上的Kronecker流，当且仅当斜率$\alpha$为不良逼近时，具有参数刚性，即存在$C>0$，$\rho>0$，对所有$k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$，有$\|k\alpha\|_{S^1} > C|k|^{-\rho}$。
• 若单值矩阵$A$的特征多项式在$\mathbb{Q}$上不可约，则$G$-作用是参数刚性的。
• 当$A$的所有本征值为正且特征多项式不可约时，$G$-作用是$C^\infty$刚性的，结合了参数刚性与轨道叶层刚性。
• 在双曲曲面单位切丛上的Anosov流所诱导的叶层$\mathcal{W}^s$是整体极小化的，因为上同调映射$r_*$是满射。
• 在闭3-流形上的测地线流的叶层$\mathcal{F}^s$几乎是整体极小化的，因为$r_*: H^2(M;\mathbb{R}) \to \mathcal{H}^2(\mathcal{F}^s)$是同构。