[论文解读] Rigorous Asymptotic Models of Water Waves

C. H. Arthur Cheng, Rafael Granero-Belinchón+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了两种新型水波模型——二次和三次 $h$-模型的严格渐近推导，分别捕捉欧拉方程中至二次和三次非线性相互作用。通过波陡度 $5c\epsilon$ 的斯托克斯展开，作者推导出速度、流函数和自由表面演化的线性递推关系，利用卡塔兰数的增长率在解析函数空间中证明适定性，并建立误差界；数值结果表明，即使在高陡度情况下，包括角点形成，该模型与完整水波解也具有极佳的一致性。

ABSTRACT

We develop a rigorous asymptotic derivation for two mathematical models of water waves that capture the full nonlinearity of the Euler equations up to quadratic and cubic interactions, respectively. Specifically, letting epsilon denote an asymptotic parameter denoting the steepness of the water wave, we use a Stokes expansion in epsilon to derive a set of linear recursion relations for the tangential component of velocity, the stream function, and the water wave parameterization. The solution of the water waves system is obtained as an infinite sum of solutions to linear problems at each epsilon^k level, and truncation of this series leads to our two asymptotic models, that we call the quadratic and cubic h-models. Using the growth rate of the Catalan numbers (from number theory), we prove well-posedness of the h-models in spaces of analytic functions, and prove error bounds for solutions of the h-models compared against solutions of the water waves system. We also show that the Craig-Sulem models of water waves can be obtained from our asymptotic procedure and that their WW2 model is well-posed in our functional framework. We then develop a novel numerical algorithm to solve the quadratic and cubic h-models as well as the full water waves system. For three very different examples, we show that the agreement between the model equations and the water waves solution is excellent, even when the wave steepness is quite large. We also present a numerical example of corner formation for water waves.

研究动机与目标

• 开发数学上严格的水波渐近模型，以捕捉欧拉方程中至二次和三次相互作用的完整非线性特性。
• 通过波陡度 $\epsilon$ 的斯托克斯展开，利用随时间变化的流体域公式推导出二次和三次 $h$-模型。
• 利用卡塔兰数的增长率，在解析函数空间中证明 $h$-模型的适定性。
• 在 $h$-模型解与完整水波系统之间建立定量误差界。
• 通过与完整欧拉方程的数值对比，验证模型在包括角点形成在内的极端波形配置中的准确性。

提出的方法

• 对水波系统应用波陡度参数 $\epsilon$ 的斯托克斯展开，得到在每个 $O(\epsilon^k)$ 阶次下流函数、切向速度和自由表面参数化的线性递推关系。
• 将无穷级数截断至 $O(\epsilon^3)$ 得到二次 $h$-模型，截断至 $O(\epsilon^4)$ 得到三次 $h$-模型，二者均表示为包含希尔伯特变换 $H$ 和分数阶拉普拉斯算子 $\Lambda$ 的非线性偏微分方程。
• 利用卡塔兰数的增长率控制解的解析性，从而在 Gevrey 型空间中证明适定性。
• 通过估计渐近展开的余项，推导出 $h$-模型与完整水波系统之间的误差界。
• 开发了一种新型数值算法，用于求解 $h$-模型和完整水波系统，采用谱方法和自适应分辨率的时间推进。
• 在三种不同的波形配置上进行数值比较，包括波面翻转和角点形成的情况，以验证模型的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种严格的渐近程序，以推导出能捕捉水波中至三次非线性相互作用的模型？
• RQ2 如何在解析函数空间中建立此类渐近模型的适定性？
• RQ3 在 $h$-模型与完整水波系统之间解的定量误差是多少？
• RQ4 该渐近框架能否恢复 Craig-Sulem WW2 模型？其在相同函数空间中是否适定？
• RQ5 $h$-模型是否能准确捕捉复杂波动力学，如角点形成，即使在高波陡度下？

主要发现

• 二次 $h$-模型被推导为 ${\partial_t^2 h + g\Lambda h = -\Lambda(|H\partial_t h|^2) + g\Lambda(h\Lambda h) + g\partial_1(h\partial_1 h)$，捕捉至二次非线性。
• 三次 $h$-模型包含额外的三次非线性项 $\mathcal{Q}(h)$，由涉及 $H\partial_t h$、$\Lambda h$ 及其乘积的项组合而成。
• 通过利用卡塔兰数的增长率控制级数收敛性，证明了两个 $h$-模型在解析函数空间中的适定性。
• 在 $h$-模型与完整水波解之间建立了误差界，表明即使在大波陡度下也具有高精度。
• 数值模拟显示，$h$-模型与完整水波系统在三个测试案例中均表现出极佳的一致性，包括形成角点的波。
• 证明了 Craig-Sulem WW2 模型可从同一渐近程序中恢复，并且在相同解析框架下适定。