[论文解读] Robust M-Estimation for Array Processing: A Random Matrix Approach

Romain Couillet, Frédéric Pascal+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用 14

一句话总结

本文利用随机矩阵理论，提出了一种用于总体协方差矩阵的鲁棒M-估计器，证明了当样本量和维度均趋于无穷大时，样本协方差矩阵与缩放后的鲁棒M-估计器之间的差异在谱范数下几乎必然收敛于零。该结果使得在不改变其一阶渐近行为的前提下，对子空间方法进行鲁棒化成为可能。

ABSTRACT

Abstract—This article studies the limiting behavior of a robust M-estimator of population covariance matrices as both the number of available samples and the population size are large. Using tools from random matrix theory, we prove that the difference between the sample covariance matrix and (a scaled version of) the robust M-estimator tends to zero in spectral norm, almost surely. This result is applied to prove that recent subspace methods arising from random matrix theory can be made robust without altering their first order behavior. I.

研究动机与目标

• 研究当样本量和维度均趋于无穷大时，总体协方差矩阵的鲁棒M-估计器的极限行为。
• 建立样本协方差矩阵与缩放后的鲁棒M-估计器之间差异在谱范数下几乎必然收敛于零的结果。
• 证明基于随机矩阵理论的近期子空间方法的鲁棒化不会改变其一阶渐近性质。
• 为在高维设置下使用随机矩阵理论工具进行鲁棒阵列处理提供理论基础。

提出的方法

• 利用随机矩阵理论工具，研究在高维渐近条件下鲁棒M-估计器的渐近行为。
• 分析经典样本协方差矩阵与鲁棒M-估计器缩放版本之间的谱范数差异。
• 使用几乎必然收敛的论证，表明鲁棒M-估计器在谱范数下渐近地与样本协方差矩阵对齐。
• 将收敛结果应用于源自随机矩阵理论的子空间方法，证明其鲁棒性而不改变一阶行为。
• 依赖于独立同分布样本和总体分布的矩条件假设，以确保收敛性。
• 引入一个缩放因子，使鲁棒M-估计器在极限下与样本协方差矩阵对齐。

实验结果

研究问题

• RQ1 当维度和样本量增长时，总体协方差矩阵的鲁棒M-估计器是否在谱范数下收敛于样本协方差矩阵？
• RQ2 样本协方差矩阵与缩放后的鲁棒M-估计器之间差异的渐近行为是什么？
• RQ3 能否在不改变其一阶渐近性能的前提下，使源自随机矩阵理论的子空间方法变得鲁棒？
• RQ4 在何种条件下，样本协方差矩阵与鲁棒M-估计器之间差异的谱范数会以几乎必然的方式收敛于零？

主要发现

• 当样本量和维度均趋于无穷大时，样本协方差矩阵与鲁棒M-估计器的缩放版本之间的差异在谱范数下几乎必然收敛于零。
• 该收敛结果在标准矩条件和独立同分布抽样假设下成立。
• 鲁棒M-估计保持了源自随机矩阵理论的子空间方法的一阶渐近行为。
• 鲁棒M-估计器在谱范数下渐近地表现得如同样本协方差矩阵，从而在高维设置下确保了一致性。
• 该理论基础使得设计保持与经典方法相同极限行为的鲁棒阵列处理算法成为可能。
• 该结果证实，鲁棒化不会损害现有子空间技术的基本渐近性质。