[论文解读] Rogozin's convolution inequality for locally compact groups

Mokshay Madiman, James Melbourne+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 38被引用 27

一句话总结

本文将Rogozin的卷积不等式推广至局部紧群，建立了在 $\mathbb{R}^d$ 上独立概率密度卷积的本质上确界之精确上界。通过极值测度论与几何不等式（特别是Ball的立方体截面不等式的新推广），统一并强化了 $\infty$-Rényi 熵幂不等式与乘积测度投影的边际界，给出了依赖于维度与投影几何的显式常数。

ABSTRACT

General extensions of an inequality due to Rogozin, concerning the essential supremum of a convolution of probability density functions on the real line, are obtained. While a weak version of the inequality is proved in the very general context of Polish $σ$-compact groups, particular attention is paid to the group \(\mathbb{R}^d\), where the result can combined with rearrangement inequalities for certain linear images for a strong generalization. As a consequence, we obtain a unification and sharpening of both the \(\infty\)-Renyi entropy power inequality for sums of independent random vectors, due to Bobkov and Chistyakov, and the bounds on marginals of projections of product measures due to Rudelson and Vershynin (matching and extending the sharp improvement of Livshyts, Paouris and Pivovarov). The proof is elementary and relies on a characterization of extreme points of a class of probability measures in the general setting of Polish measure spaces, as well as the development of a generalization of Ball's cube slicing bounds for products of \(d\)-dimensional Euclidean balls (where the "co-dimension 1" case had been recently settled by Brzezinski).

研究动机与目标

• 将Rogozin的经典卷积不等式——最初针对 $\mathbb{R}$ 上的密度——推广至波兰 $\sigma$-紧群的更广泛设定，特别是局部紧群。
• 在 $\mathbb{R}^d$ 中建立独立随机向量卷积的本质上确界的精确上界，以各密度的 $L^\infty$ 范数表示。
• 统一并改进信息论与凸几何中的两个主要结果：Bobkov-Chistyakov 的 $\infty$-Rényi 熵幂不等式，以及 Rudelson-Vershynin（后由 Livshyts-Paouris-Pivovarov 扩展）的乘积测度投影边际界。
• 通过波兰测度空间中的极值测度与几何不等式（特别是 $d$-维欧氏球体乘积的 Ball 立方体截面不等式的新推广）建立一个通用框架。
• 推导出不等式中显式的、与维度相关的最优常数，这些常数在极限情形（如 $d=1$ 与 $d\to\infty$）下与已知的精确界一致。

提出的方法

• 利用弱-* 拓扑与Radon-Nikodym导数，刻画波兰测度空间中一类概率测度的极值点，将 $M(\mu)$ 与密度的 $L^\infty$ 范数联系起来。
• 应用欧氏空间中线性像最大值的广义重排不等式，将卷积的本质上确界与输入密度的 $L^\infty$ 范数联系起来。
• 使用带最优常数的 Brascamp–Lieb 型不等式，以控制独立随机向量在线性投影下的卷积的 $L^\infty$ 范数。
• 推导出本质上确界的两个竞争性上界：一个基于 $d$-维欧氏球体的体积，另一个基于投影矩阵核的对偶几何论证。
• 通过最小-最大构造结合两个上界，得到定理1.1中的精确常数 $c(d,k)$，其依赖于 $d$、$k$ 与 $n$。
• 将主不等式重新解释为Rényi熵与熵幂的形式，将结果表达为独立随机向量投影的 $\infty$-Rényi 熵幂的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定 $\mathbb{R}^d$ 上独立概率密度的 $L^\infty$ 范数，卷积的本质上确界之精确上界是什么？
• RQ2 Rogozin不等式如何从 $\mathbb{R}$ 推广至任意局部紧群？其最小的拓扑与测度论假设是什么？
• RQ3 能否将独立随机向量和的 $\infty$-Rényi 熵幂不等式加以强化，并与乘积测度投影的边际界统一？
• RQ4 独立 $d$-维随机向量投影的广义Rogozin不等式中的最优常数是什么？它如何依赖于 $d$、$k$ 与 $n$？
• RQ5 几何不等式——特别是Ball的立方体截面不等式推广——如何在对称凸体的卷积不等式中导出精确常数？

主要发现

• 本文建立了精确不等式：对独立的 $\mathbb{R}^d$-值随机向量 $X_i$ 及其在 $k$-维子空间上的投影 $P$，有 $M(P\otimes I_d(X)) \leq c(d,k) \prod_{i=1}^n M^{\gamma_i}(X_i)$，其中 $\sum \gamma_i = k$，且常数 $c(d,k)$ 显式给出。
• 常数 $c(d,k)$ 是两项的最小值：一项涉及 $d$-维球体体积与Gamma函数，另一项涉及比值 $n/(n-k)$，当 $n-k$ 较大时后者占主导。
• 当 $d=1$ 时，常数退化为 $\min\{2^{k/2}, (n/(n-k))^{(n-k)/2}\}$，与 $\infty$-Rényi 熵幂不等式中的已知精确界一致。
• 在信息论形式中，不等式导出 $N_\infty(P^{(d)}(X)) \geq \max\left(\left(\frac{m}{n}\right)^{m/k}, \frac{\Gamma^{2/d}(1+d/2)}{1+d/2}\right) \prod_{i=1}^n N_\infty^{t_i}(X_i)$，其中 $m = \dim(\ker P)$，显示出与维度无关项和 $d$-相关项之间的二分性。
• 常数 $\frac{\Gamma^{2/d}(1+d/2)}{1+d/2}$ 在 $d \to \infty$ 时趋于 $1/e$，从而恢复了 Bobkov 与 Chistyakov 不等式中的精确常数。
• 本文还给出了整数上的推广：对满足 $M(X_i) \leq 1/k$ 的整数值随机变量，有 $M(X_1+\cdots+X_n) < \sqrt{6/(\pi(k^2-1)n)}$ 对 $n>2$ 成立，推广了 Mattner 与 Roos 的结果。