[论文解读] Roman Bondage Numbers of Some Graphs

Fu-Tao Hu, Ju-Ming Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文确定了两类图的罗马束缚数：完全 $t$-部图和阶数 $n \geq 5$ 的 $(n-3)$-正则图。基于部分大小和正则性，本文建立了罗马束缚数的精确公式，证明了对于除 $K_{3,3,\dots,3}$ 外的所有 $(n-3)$-正则图，罗马束缚数为 $n-2$；而对于完全 $t$-部图，其罗马束缚数取决于部分集的数量和大小。

ABSTRACT

A Roman dominating function on a graph $G=(V,E)$ is a function $f: V o \{0,1,2\}$ satisfying the condition that every vertex $u$ with $f(u)=0$ is adjacent to at least one vertex $v$ with $f(v)=2$. The weight of a Roman dominating function is the value $f(G)=\sum_{u\in V} f(u)$. The Roman domination number of $G$ is the minimum weight of a Roman dominating function on $G$. The Roman bondage number of a nonempty graph $G$ is the minimum number of edges whose removal results in a graph with the Roman domination number larger than that of $G$. This paper determines the exact value of the Roman bondage numbers of two classes of graphs, complete $t$-partite graphs and $(n-3)$-regular graphs with order $n$ for any $n\ge 5$.

研究动机与目标

• 确定完全 $t$-部图的罗马束缚数的精确值。
• 建立阶数 $n \geq 5$ 的 $(n-3)$-正则图的罗马束缚数。
• 阐明在这些图类中，边的移除如何影响罗马支配数。
• 解决 $K_{3,3,\dots,3}$ 及相关正则图的罗马束缚数问题，将其与其它 $(n-3)$-正则图区分开来。

提出的方法

• 作者通过结构图分析，研究边移除对罗马支配函数的影响。
• 他们应用已知的关于完全 $t$-部图和正则图中罗马支配数的结果作为基础引理。
• 证明过程涉及构造罗马支配函数，并分析移除后会使罗马支配数增加的边集。
• 关键引理用于界定罗马束缚集的大小，尤其关注顶点度数和非邻接结构。
• 采用反证法证明：对于 $(n-3)$-正则图，任何罗马束缚集的大小至少为 $n-2$。
• 分析根据完全 $t$-部图中最小部分集的大小以及正则图中非邻居的结构区分不同情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定部分大小的完全 $t$-部图 $K_{m_1,m_2,\dots,m_t}$，其罗马束缚数是多少？
• RQ2 阶数 $n \geq 5$ 的 $(n-3)$-正则图的罗马束缚数如何依赖于其结构？
• RQ3 为何 $K_{3,3,\dots,3}$ 在 $(n-3)$-正则图的罗马束缚数中是一个例外？
• RQ4 能否对 $K_{3,3,\dots,3}$ 和其他 $(n-3)$-正则图精确确定其罗马束缚数？

主要发现

• 对于完全 $t$-部图 $K_{m_1,m_2,\dots,m_t}$，若 $m_1 = \dots = m_i < m_{i+1} \leq \dots \leq m_t$，则当 $m_i = 1$ 且 $n \geq 3$ 时，罗马束缚数为 $\lfloor i/2 \rfloor$。
• 若 $m_i = 2$ 且 $i = 1$，则罗马束缚数为 $2$；若 $m_i = 2$ 且 $i \geq 2$，则为 $i$。
• 若 $m_i = 3$ 且 $i = t \geq 3$，则罗马束缚数为 $n-1$。
• 若 $m_i \geq 3$ 且 $m_t \geq 4$，则罗马束缚数为 $n - m_t$。
• 对于任意阶数 $n \geq 5$ 的 $(n-3)$-正则图 $G$ 且 $G \neq K_{3,3,\dots,3}$，其罗马束缚数为 $n-2$。
• 对于阶数 $n \geq 9$ 的 $K_{3,3,\dots,3}$，其罗马束缚数为 $n-1$，严格大于 $n-2$。