[论文解读] Round fold maps and the topologies and the differentiable structures of manifolds admitting explicit ones

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 24

一句话总结

该论文通过刻画具有同心奇异值球面的稳定折痕映射（即圆周折痕映射）所诱导的流形的拓扑与微分结构，推进了对圆周折痕映射的研究。研究结果表明，若闭合连通流形 admits 圆周折痕映射且其逆像与丛结构满足特定条件，则该流形微分同胚于球面上的光滑丛与近乎球面纤维的连通和，从而推广了微分拓扑中关于特殊通用映射与折痕映射的已知结果。

ABSTRACT

Stable fold maps are fundamental tools in a generalization of the theory of Morse functions on smooth manifolds and its application to studies of geometric properties of smooth manifolds. Round fold maps were introduced as stable fold maps such that the sets of all of the singular values of them are concentric spheres by the author in 2013-4. Topological properties of such maps and topological information of their source manifolds such as homology and homotopy groups have been studied under appropriate conditions by the author. In this paper, we redefine round fold maps respecting the definition. As more precise information of manifolds admitting round fold maps, we study the topologies and differentiable structures of manifolds admitting such maps under appropriate differential topological conditions.

研究动机与目标

• 刻画 admits 圆周折痕映射的光滑流形的拓扑与微分结构。
• 将已知的关于特殊通用映射与折痕映射的分类结果推广至更广泛的圆周折痕映射类别。
• 确定流形可表示为近乎球面纤维的丛的连通和的充分必要条件。
• 阐明 Reeb 空间与标准型在理解圆周折痕映射整体结构中的作用。

提出的方法

• 通过要求奇异集为标准球面的不相交并集，且奇异值集为同心球面，重新表述圆周折痕映射。
• 利用 Reeb 空间构造法分析圆周折痕映射的整体结构，并将其与源流形的拓扑联系起来。
• 应用标准分解操作，通过沿适当核心分裂映射，从已有映射构造新的圆周折痕映射。
• 利用 Ehresmann 的纤维丛定理，证明在环形区域上的某些逆像区域是平凡光滑丛，其纤维微分同胚于圆柱体或带穿孔的圆盘。
• 在球面上以近乎球面（如 $S^{m-n}$ 或 $S^{m-n} \times [-1,1]$ 去掉一个圆盘）为纤维的光滑丛的全空间上构造圆周折痕映射。
• 利用推论 1 与定理 10 的归纳构造方法，在此类丛的连通和上构建圆周折痕映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在逆像为正则值的不相交标准球面并集的条件下，admits 圆周折痕映射的流形会呈现出何种拓扑与微分结构？
• RQ2 在何种条件下，闭合流形微分同胚于球面上的光滑丛与近乎球面纤维的连通和？
• RQ3 圆周折痕映射的 Reeb 空间与标准型如何约束源流形的整体拓扑？
• RQ4 正则值逆像中连通分支的数量与连通和分解中分量数之间存在何种关系？
• RQ5 是否可在非标准球面或非特殊通用映射的流形上构造圆周折痕映射，特别是在高维情形下？

主要发现

• 闭合连通的 $m$-维流形 $M$ admits 圆周折痕映射 $f: M \to \mathbb{R}^n$，且正则值的逆像为标准球面的不相交并集，当且仅当 $M$ 微分同胚于 $l-1$ 个球面 $S^n$ 上的光滑丛与 $m-n$ 维近乎球面纤维的连通和。
• 在正则值的逆像中，若某点在适当核心上的原像有 $l$ 个连通分支，则其纤维非标准球面的丛的数量至少为 $l-1-k$，其中 $k$ 是满足 $k \leq l/2$ 的最大整数。
• 当 $m \geq 2n$ 时，流形 $M$ 满足定理 12 中条件 (a)–(c) 当且仅当其为 $l-1$ 个球面 $S^n$ 上几乎球面纤维的丛的连通和，且纤维结构由逆像中连通分支数决定。
• 目标空间 $\mathbb{R}^n$ 中每个环形区域的逆像为环面上的平凡光滑丛，其纤维微分同胚于 $S^{m-n} \times [-1,1]$ 去掉一个标准圆盘 $D^{m-n+1}$ 的内部。
• 此类映射的 Reeb 空间 $W_f$ 的每个连通分支，若其在奇异集像之外，则其在 $q_f$ 下的原像微分同胚于 $S^{m-n}$。
• 当正则值的逆像为两个纤维副本的不相交并集时，可在 $S^{m-n}$-丛全空间上构造圆周折痕映射，从而推广了特殊通用映射。