[论文解读] Ruelle Operator for Continuous Potentials and DLR-Gibbs Measures

Leandro Cioletti, Artur O. Lopes+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用 12

一句话总结

本文將 DLR-Gibbs 测度表征為在不可数字母表上连续势函数的转移 Ruelle 算子转置的特征测度，推廣了 Bowen 的唯一性准则。證明了 DLR-Gibbs 测度與特徵概率測度的等價性，並在紧致度量字母表上，對 Bowen 势函數證明了 Ruelle 算子存在正特徵函數。

ABSTRACT

In this work we study the Ruelle Operator associated to a continuous potential defined on a countable product of a compact metric space. We prove a generalization of Bowen's criterion for the uniqueness of the eigenmeasures. One of the main results of the article is to show that a probability is DLR-Gibbs (associated to a continuous translation invariant specification), if and only if, is an eigenprobability for the transpose of the Ruelle operator. Bounded extensions of the Ruelle operator to the Lebesgue space of integrable functions, with respect to the eigenmeasures, are studied and the problem of existence of maximal positive eigenfunctions for them is considered. One of our main results in this direction is the existence of such positive eigenfunctions for Bowen's potential in the setting of a compact and metric alphabet. We also present

研究动机与目标

• 將經典的 Ruelle 算子理論推廣至不可數字母表上的連續勢函數，特別是緊致度量空間。
• 建立 DLR-Gibbs 測度作為 Ruelle 算子轉置的特徵概率測度的表徵。
• 在不可數字母表上連續勢函數的設定下，推廣 Bowen 的特徵測度唯一性準則。
• 研究 Lebesgue 空間上 Ruelle 算子的有界延拓，並證明最大正特徵函數的存在性。
• 在連續勢函數的熱力學形式系統背景下，提出 Dobrushin 定理的一個版本。

提出的方法

• 在緊致度量空間的可數乘積上定義 Ruelle 算子，使用先驗測度，推廣經典的轉移算子。
• 利用 Ruelle 算子的轉置，通過方程 $\mu = \mathscr{L}_f^* \mu$ 將 DLR-Gibbs 測度表徵為特徵概率測度。
• 應用單調收斂定理與核理論，分析條件期望與不變測度的極限行為。
• 引入在時間 $n$ 內受 Ruelle 算子作用不變的 $\sigma$-代數 $\mathscr{A}_n(\mu)$，並定義 $\mathscr{A}(\mu) = \bigcap_n \mathscr{A}_n(\mu)$。
• 證明極端 DLR-Gibbs 測度在 $\mathscr{A}(\mu)$ 上是平凡的，將遍歷性與尾 $\sigma$-代數 $\mathscr{T}$ 聯繫起來。
• 利用 Radon-Nikodym 定理與核性質，證明在平移不變性下，特徵測度與 DLR-Gibbs 測度完全對應。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，DLR-Gibbs 測度是 Ruelle 算子轉置的特徵測度？
• RQ2 如何將 Bowen 的唯一性準則推廣至不可數字母表上的連續勢函數？
• RQ3 何種條件可確保在連續勢函數設定下 Ruelle 算子存在正特徵函數？
• RQ4 尾 $\sigma$-代數 $\mathscr{T}$ 與 DLR-Gibbs 測度的不變 $\sigma$-代數 $\mathscr{A}(\mu)$ 之間有何關係？
• RQ5 是否可在熱力學形式系統背景下，為連續勢函數提出 Dobrushin 定理的一個版本？

主要发现

• 若且唯若某概率測度 $\mu$ 是 Ruelle 算子轉置的特徵概率測度，則 $\mu$ 是連續平移不變規範的 DLR-Gibbs 測度。
• 本文將 Bowen 的唯一性準則推廣至不可數字母表上的連續勢函數，提供了特徵測度唯一性的充分條件。
• 在緊致度量字母表上，對於 Bowen 势函數，Ruelle 算子在 Lebesgue 空間 $L^1(\mu)$ 中存在正特徵函數，確保其譜性質。
• $\mathscr{A}(\mu)$ 這個受 Ruelle 算子作用不變的集合 $\sigma$-代數，是尾 $\sigma$-代數 $\mathscr{T}$ 的 $\mu$-完備化，將遍歷性與不變性聯繫起來。
• 極端 DLR-Gibbs 測度在 $\mathscr{A}(\mu)$ 上是平凡的，因而也在 $\mathscr{T}$ 上是平凡的，確認了極端性與尾平凡性之間的聯繫。
• 本文在熱力學形式系統背景下提出了一個 Dobrushin 定理的版本，將其適用範圍擴展至不可數字母表上的連續勢函數。