[论文解读] S-OPT: A Points Selection Algorithm for Hyper-Reduction in Reduced Order Models

Jessica T. Lauzon, Siu Wun Cheung+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 12

一句话总结

本文提出S-OPT，一种用于降阶模型（ROMs）中高斯消去法的点选择算法，通过最大化所选基投影的列正交性和行列式来提升数值稳定性。与过度采样的离散期望插值法（DEIM）相比，S-OPT在采样点更少的情况下实现了更低的投影误差和解误差，尤其在低采样量情形下表现更优，归因于所选点在空间上分布更均匀且能更好地保持正交性。

ABSTRACT

While projection-based reduced order models can reduce the dimension of full order solutions, the resulting reduced models may still contain terms that scale with the full order dimension. Hyper-reduction techniques are sampling-based methods that further reduce this computational complexity by approximating such terms with a much smaller dimension. The goal of this work is to introduce a points selection algorithm developed by Shin and Xiu [SIAM J. Sci. Comput., 38 (2016), pp. A385--A411], as a hyper-reduction method. The selection algorithm is originally proposed as a stochastic collocation method for uncertainty quantification. Since the algorithm aims at maximizing a quantity S that measures both the column orthogonality and the determinant, we refer to the algorithm as S-OPT. Numerical examples are provided to demonstrate the performance of S-OPT and to compare its performance with an over-sampled Discrete Empirical Interpolation (DEIM) algorithm. We found that using the S-OPT algorithm is shown to predict the full order solutions with higher accuracy for a given number of indices.

研究动机与目标

• 解决由于高维非线性项随全阶模型（FOM）规模增长而引起的非线性降阶模型（ROMs）计算瓶颈问题。
• 通过选择能保持降阶基正交性和行列式的采样点，提升高斯消去法的精度与稳定性。
• 评估S-OPT在非线性PDE的高斯消去法中相对于过度采样DEIM的性能表现，尤其关注对流主导和复杂流动问题。
• 证明S-OPT可在采样索引更少的情况下实现更快收敛和更低误差，尤其在低采样量情形下表现更优。

提出的方法

• S-OPT通过最大化一个平衡列正交性与基矩阵行列式的量𝒮来选择采样点，从而增强数值稳定性。
• 该算法源自最初用于不确定性量化任务的随机配置方法，现被重新用于ROM中的高斯消去法。
• S-OPT选择的索引在解变化剧烈的区域分布更均匀，从而提升近似质量。
• 该方法使用斜投影误差作为关键指标，评估高斯消去法中非线性项近似的质量。
• 通过改变采样索引数量，比较S-OPT与过度采样DEIM的投影误差和解误差。
• 该方法在基准问题（包括Gresho涡旋和3D Sedov冲击波）上进行了验证，其非线性项来源于动量与能量守恒方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 S-OPT在减少ROM中非线性项的高斯消去法误差方面，与过度采样DEIM相比表现如何？
• RQ2 S-OPT是否能在使用更少采样索引的同时，实现更低的斜投影误差，且保持或提升解的精度？
• RQ3 S-OPT所选点的空间分布是否相比DEIM能带来更好的数值稳定性并减少误差增长？
• RQ4 随着采样索引数量的增加，S-OPT与DEIM在投影误差衰减速率上有何差异？
• RQ5 S-OPT在选择过程中保持正交性的特性，对对流主导问题中ROM的稳定性与收敛性有何影响？

主要发现

• 在能量守恒方程中非线性项的所有测试快照样本中，S-OPT的斜投影误差显著低于过度采样DEIM。
• 随着采样索引数量的增加，S-OPT的斜投影误差衰减速度优于DEIM，表明其具有更优的收敛性。
• 在3D Sedov冲击波问题中，S-OPT在低采样数量下产生的最终时间L²解误差更稳定且更低，优于DEIM。
• S-OPT所选点在解变化剧烈的区域分布更均匀，从而提升了近似质量。
• 当采样索引少于20个时，S-OPT的相对误差增长更平滑且可预测，而DEIM则表现出更陡峭的退化趋势。
• 正交投影误差作为下界，S-OPT始终比DEIM更快速地逼近该下界，表明其近似质量更优。