[论文解读] Salem numbers in dynamics of Kähler threefolds and complex tori

Keiji Oguiso, Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 13

一句话总结

该论文证明，在紧致凯勒三流形和复环面上，若第一动力度量为萨林数，则对动力度量施加了特定约束：在三维时，λ₁(f) = λ₂(f)；在四维时，要么λ₁(f) = λ₃(f)，要么λ₁(f)² = λ₂(f)。主要贡献在于证明：对于复三环面，当λ₁(f) > 1时，其自同构存在等变纤维化当且仅当λ₁(f)是萨林数；当Picard数为0、3或9但λ₁(f)不是萨林数时，存在反例。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kähler manifold of dimension $k\leq 4$ and $f:X ightarrow X$ a pseudo-automorphism. If the first dynamical degree $λ_1(f)$ is a Salem number, we show that either $λ_1(f)=λ_{k-1}(f)$ or $λ_1(f)^2=λ_{k-2}(f)$. In particular, if $\mbox{dim}(X)=3$ then $λ_1(f)=λ_2(f)$. We use this to show that if $X$ is a complex 3-torus and $f$ is an automorphism of $X$ with $λ_1(f)>1$, then $f$ has a non-trivial equivariant holomorphic fibration if and only if $λ_1(f)$ is a Salem number. If $X$ is a complex 3-torus having an automorphism $f$ with $λ_1(f)=λ_2(f)>1$ but is not a Salem number, then the Picard number of $X$ must be 0,3 or 9, and all these cases can be realized.

研究动机与目标

• 确定紧致凯勒流形（维度3或4）上的伪自同构何时具有非平凡的不变亚纯纤维化。
• 阐明萨林数在复三环面自同构背景下的动力学角色。
• 刻画满足λ₁(f) = λ₂(f) > 1但无非平凡等变纤维化的三环面的Picard数约束。
• 通过证明λ₁(f)为萨林数意味着存在f-等变全纯纤维化，从而正面回答了关于复三环面的第2个问题（ii）。

提出的方法

• 利用动力度量理论及诱导映射f*在上同调上的作用，分析其谱性质。
• 应用Perron-Frobenius定理，证明λ₁(f)是f*在H^{1,1}(X)上的主导特征值。
• 通过f*的特征多项式的伽罗瓦群分析，约束Picard数并检测纤维化的缺失。
• 通过具有特定根分布的多项式，构造出具有λ₁(f) = λ₂(f) > 1但无非平凡等变纤维化的3-环面显式例子。
• 利用特征多项式的分裂域，通过伽罗瓦群结构确定Picard数。
• 应用Voisin与Diller-Favre关于动力度量与纤维化的结果，推导出必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致凯勒三流形上的伪自同构f，若λ₁(f) = λ₂(f)，是否必然存在非平凡的不变亚纯纤维化？
• RQ2 若紧致凯勒三流形上的伪自同构f满足λ₁(f)为萨林数，是否必然存在非平凡的不变亚纯纤维化？
• RQ3 对于复三环面X，自同构f满足λ₁(f) > 1时，在何种条件下存在f-等变全纯纤维化？
• RQ4 存在自同构f满足λ₁(f) = λ₂(f) > 1但无非平凡等变纤维化的复三环面，其可能的Picard数有哪些？
• RQ5 能否建立关于三环面纤维化中萨林数条件的逆命题？

主要发现

• 对于紧致凯勒三流形上的伪自同构f，若λ₁(f)为萨林数，则必有λ₁(f) = λ₂(f)。
• 对于紧致凯勒四流形上的伪自同构f，若λ₁(f)为萨林数，则必有λ₁(f) = λ₃(f)或λ₁(f)² = λ₂(f)。
• 在复三环面上，自同构f满足λ₁(f) > 1时，当且仅当λ₁(f)为萨林数，才存在非平凡的f-等变全纯纤维化。
• 存在Picard数为9的射影3-环面，其上存在自同构f满足λ₁(f) = λ₂(f) > 1但无非平凡等变纤维化。
• 存在Picard数为0或3的非射影3-环面，其上存在自同构f满足λ₁(f) = λ₂(f) > 1但无非平凡等变纤维化。
• 存在自同构f满足λ₁(f) = λ₂(f) > 1但无非平凡等变纤维化的三环面，其Picard数必为0、3或9，且所有情况均可实现。