[论文解读] Satisfaction is not absolute

Joel David Hamkins, Ruizhi Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Philosophy and Theoretical Science参考文献 13被引用 31

一句话总结

本文表明，即使在集合论模型共享相同的基础数学结构（如自然数或秩初段）的情况下，一阶逻辑中的满足关系在不同模型之间也不是绝对的。它展示了两个模型可以在结构上达成一致，却在该结构内对何者为真产生分歧，从而挑战了‘结构的确定性意味着其真理理论的确定性’这一假设。

ABSTRACT

We prove that the satisfaction relation $\mathcal{N}\modelsφ[\vec a]$ of first-order logic is not absolute between models of set theory having the structure $\mathcal{N}$ and the formulas $φ$ all in common. Two models of set theory can have the same natural numbers, for example, and the same standard model of arithmetic $\langle\mathbb{N},{+},{\cdot},0,1,{\lt} angle$, yet disagree on their theories of arithmetic truth; two models of set theory can have the same natural numbers and the same arithmetic truths, yet disagree on their truths-about-truth, at any desired level of the iterated truth-predicate hierarchy; two models of set theory can have the same natural numbers and the same reals, yet disagree on projective truth; two models of set theory can have the same $\langle H_{ω_2},{\in} angle$ or the same rank-initial segment $\langle V_δ,{\in} angle$, yet disagree on which assertions are true in these structures. On the basis of these mathematical results, we argue that a philosophical commitment to the determinateness of the theory of truth for a structure cannot be seen as a consequence solely of the determinateness of the structure in which that truth resides. The determinate nature of arithmetic truth, for example, is not a consequence of the determinate nature of the arithmetic structure $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ itself, but rather, we argue, is an additional higher-order commitment requiring its own analysis and justification.

研究动机与目标

• 挑战哲学上的假设，即数学结构的确定性（例如自然数）意味着其一阶真理理论的确定性。
• 从数学上证明，集合论模型可以共享相同的结构（如 ℕ、ℝ 或 Vδ），却在该结构中的真理问题上产生分歧。
• 论证算术或集合论真理的确定性并非底层结构确定性的逻辑结果，而需要独立的、更高阶的本体论承诺。
• 表明即使模型在算术标准模型或实数上达成一致，它们仍可能在迭代真理谓词层级或投影真理问题上产生分歧。
• 为区分数学对象的确定性与它们理论中真理的确定性提供形式基础，反驳将二者等同的观点。

提出的方法

• 构建在共享结构（如 ⟨ℕ, +, ⋅, 0, 1, <⟩）上元素等价的集合论模型，但对某些一阶公式的满足性存在分歧。
• 使用力迫法和内模型技术，生成具有相同自然数或实数但算术理论或投影真理理论不同的 ZFC 模型。
• 应用初等嵌入和传递秩初段（Vδ）的概念，证明这些结构中的满足关系在不同模型之间并非绝对。
• 证明即使两个模型在 Hω₂ 或 Vδ 作为结构上达成一致，它们仍可能在这些结构是否满足 ZFC 或其他公理的问题上产生分歧。
• 运用迭代真理谓词层级，表明模型可能在算术真理上达成一致，却在更高层次的‘真理之真理’问题上产生分歧。
• 采用涉及可定义子集和满足关系非绝对性的证明技术，表明不存在自同构能解决分歧，从而排除语义模糊性作为分歧根源。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个集合论模型能否共享相同的算术标准模型，却在该模型中对哪些一阶句子为真产生分歧？
• RQ2 在集合论模型对结构达成一致的前提下，某条语句在 ℕ 或 ℝ 中的真理是否在不同模型间绝对？
• RQ3 集合论模型能否在实数上达成一致，却在投影语句的真理问题上产生分歧？
• RQ4 在共享相同结构的前提下，公式在 Vδ 或 Hω₂ 结构中的满足关系是否在不同模型间绝对？
• RQ5 数学结构的确定性是否逻辑上蕴含其一阶真理理论的确定性？

主要发现

• 两个集合论模型可以拥有完全相同的自然数和相同的算术标准模型 ⟨ℕ, +, ⋅, 0, 1, <⟩，却在哪些一阶算术语句为真上产生分歧。
• 模型可以在实数及其二阶算术结构上达成一致，却在投影语句的真理问题上产生分歧。
• 模型可以共享相同的传递秩初段 Vδ，甚至一致认为它满足 ZFC，但仍可能在‘满足 ZFC’这一满足关系的意义上产生分歧。
• 模型可以拥有相同的 Hω₂ 结构，却在该结构中哪些语句为真上产生分歧，表明即使在这些高层级结构中，满足关系也并非绝对。
• 公式满足关系 φ ∈ Sat(⟨M, ∈⟩, φ) 在集合论模型之间并非绝对，即使 M 和 φ 在两个模型中完全相同。
• 本文确立了：结构中真理的确定性无法仅从结构本身的确定性推导得出，而需要独立的本体论承诺。