[论文解读] Saturated Sets for Nonuniformly Hyperbolic Systems

Chao Liang, Gang Liao+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文证明，对于具有遍历双曲测度 $\omega$ 的 $C^{1+\beta}$ 微分同胚，存在一个全测度集 $\widetilde{\Lambda}$，使得任意在 $\widetilde{\Lambda}$ 上的不变测度 $\mu$ 的度量熵等于其饱和集 $G_\mu$ 的拓扑熵。此外，本文进一步证明，紧致测度集 $K$ 的饱和集的拓扑熵等于其度量熵的下确界，该结果被推广至非一致双曲系统，包括 Katok、Mañé 和 Bonatti-Viana 的系统。

ABSTRACT

In this paper we prove that for an ergodic hyperbolic measure $\omega$ of a $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism $f$ on a Riemannian manifold $M$, there is an $\omega$-full measured set $\widetilde{\Lambda}$ such that for every invariant probability $\mu\in \mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$, the metric entropy of $\mu$ is equal to the topological entropy of saturated set $G_{\mu}$ consisting of generic points of $\mu$: $$h_\mu(f)=h_{ op}(f,G_{\mu}).$$ Moreover, for every nonempty, compact and connected subset $K$ of $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ with the same hyperbolic rate, we compute the topological entropy of saturated set $G_K$ of $K$ by the following equality: $$\inf\{h_\mu(f)\mid \mu\in K\}=h_{ op}(f,G_K).$$ In particular these results can be applied (i) to the nonuniformy hyperbolic diffeomorphisms described by Katok, (ii) to the robustly transitive partially hyperbolic diffeomorphisms described by ~Ma{\~{n}}{\'{e}}, (iii) to the robustly transitive non-partially hyperbolic diffeomorphisms described by Bonatti-Viana. In all these cases $\mathcal{M}_{inv}(\widetilde{\Lambda},f)$ contains an open subset of $\mathcal{M}_{erg}(M,f)$.

研究动机与目标

• 建立非一致双曲系统中饱和集的度量熵与拓扑熵之间的精确关系。
• 识别一个全测度集 $\widetilde{\Lambda}$，使得该熵等式对所有不变测度均成立。
• 计算与不变测度的紧致连通子集具有统一双曲率的饱和集的拓扑熵。
• 将已知的熵结构结果推广至更广泛的非一致双曲微分同胚类。
• 展示该框架在典型例子中的适用性：Katok 的非一致双曲系统、Mañé 的鲁棒遍历部分双曲系统，以及 Bonatti-Viana 的鲁棒遍历非部分双曲系统。

提出的方法

• 为一个具有遍历双曲测度 $\omega$ 的系统构造一个全测度集 $\widetilde{\Lambda} \subset M$，确保所有在 $\widetilde{\Lambda}$ 上的不变测度在动力系统下表现良好。
• 根据 Birkhoff 深度定理，将饱和集 $G_\mu$ 定义为每个不变测度 $\mu$ 的典型点集合。
• 利用系统的双曲性及 $C^{1+\alpha}$ 正则性，控制李雅普诺夫指数并建立熵等价性。
• 应用变分原理与熵结构理论，将紧致集 $K$ 上度量熵的下确界与 $G_K$ 的拓扑熵联系起来。
• 利用在相关例子中 $\mathcal{M}_{\text{inv}}(\widetilde{\Lambda},f)$ 包含 $\mathcal{M}_{\text{erg}}(M,f)$ 的一个开子集这一事实，确保结果的广泛适用性。
• 通过非一致双曲设定下的测度论与拓扑工具，建立恒等式 $h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_\mu)$ 与 $\inf_{\mu \in K} h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_K)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非一致双曲系统中，不变测度 $\mu$ 的度量熵是否能被其饱和集 $G_\mu$ 的拓扑熵精确匹配？
• RQ2 一个紧致连通不变测度集 $K$ 的饱和集的拓扑熵是否等于 $K$ 中测度的度量熵的下确界？
• RQ3 该熵等式在多大程度上可推广至鲁棒遍历与非部分双曲微分同胚？
• RQ4 系统的哪些结构性质可保证 $\mathcal{M}_{\text{inv}}(\widetilde{\Lambda},f)$ 包含遍历测度空间 $\mathcal{M}_{\text{erg}}(M,f)$ 的一个开子集？
• RQ5 将 $\widetilde{\Lambda}$ 选为全测度集，如何影响系统的熵结构？

主要发现

• 对于全测度集 $\widetilde{\Lambda}$ 上的任意不变测度 $\mu$，其度量熵 $h_\mu(f)$ 等于其饱和集 $G_\mu$ 的拓扑熵，即 $h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_\mu)$。
• 对于任意非空、紧致且连通的子集 $K \subset \mathcal{M}_{\text{inv}}(\widetilde{\Lambda},f)$，若其具有统一的双曲率，则 $G_K$ 的拓扑熵等于 $K$ 上度量熵的下确界，即 $\inf_{\mu \in K} h_\mu(f) = h_{\text{top}}(f, G_K)$。
• 该结果适用于 Katok 的非一致双曲微分同胚、Mañé 的鲁棒遍历部分双曲系统，以及 Bonatti-Viana 的鲁棒遍历非部分双曲系统。
• 在所有三种情况下，空间 $\mathcal{M}_{\text{inv}}(\widetilde{\Lambda},f)$ 均包含遍历测度空间 $\mathcal{M}_{\text{erg}}(M,f)$ 的一个开子集，确保结果不局限于小或例外的集合。
• 通过构造 $\widetilde{\Lambda}$，确保熵等式对 $\omega$-几乎处处的点成立，且在动力系统下保持双曲结构。
• 熵等式通过遍历理论、双曲动力系统与拓扑熵理论的结合建立，且无需对部分双曲性作额外假设，仅要求存在一个双曲测度。