[论文解读] Scale Invariance, Inflation and the Present Vacuum Energy of the Universe

Eduardo Guendelman|ArXiv.org|Apr 4, 2000

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出一种尺度不变的引力理论，通过两个独立的测度——$Φ d^4x$ 和 $\sqrt{-g}d^4x$——利用标量场 $\phi$ 的指数势 $V(\phi) = f_1 e^{\alpha\phi}$ 和 $U(\phi) = f_2 e^{2\alpha\phi}$ 实现质量生成与暴胀。自发对称性破缺后，该模型简化为诱导引力，其有效势为 $V_{\text{eff}} = \frac{1}{4f_2}(f_1 + M e^{-\alpha\phi})^2$，从而实现早期宇宙暴胀向现今小宇宙学常数的真空能量的自然过渡。

ABSTRACT

The possibility of mass in the context of scale-invariant, generally covariant theories, is discussed. Scale invariance is considered in the context of a gravitational theory where the action, in the first order formalism, is of the form $S = \int L_{1} Φd^4x$ + $\int L_{2}\sqrt{-g}d^4x$ where $Φ$ is a density built out of degrees of freedom independent of the metric. For global scale invariance, a "dilaton" $ϕ$ has to be introduced, with non-trivial potentials $V(ϕ)$ = $f_{1}e^{αϕ}$ in $L_1$ and $U(ϕ)$ = $f_{2}e^{2αϕ}$ in $L_2$. This leads to non-trivial mass generation and a potential for $ϕ$ which is interesting for inflation. The model after ssb can be connected to the induced gravity model of Zee, which is a successful model of inflation. Models of the present universe and a natural transition from inflation to a slowly accelerated universe at late times are discussed.

研究动机与目标

• 构建一个广义协变且尺度不变的引力理论，允许质量生成与自发对称性破缺。
• 在不进行微调的前提下，利用尺度不变性作为基本原理，实现暴胀与现今小的真空能量密度。
• 将该模型与泽的诱导引力框架相联系，确保与成功暴胀动力学的一致性。
• 展示通过该模型的两场扩展，可自然实现从高能暴胀到低能暗能量主导时期的动态过渡。

提出的方法

• 在作用量中引入两个独立测度：$S = \int L_1 \Phi d^4x + \int L_2 \sqrt{-g} d^4x$，其中 $\Phi$ 是由辅助场 $\varphi_a$ 构造的与度规无关的标量密度。
• 通过要求 $V(\phi) = f_1 e^{\alpha\phi}$ 和 $U(\phi) = f_2 e^{2\alpha\phi}$，实现全局尺度不变性，确保在 $g_{\mu\nu} \to e^{\theta}g_{\mu\nu}$ 和 $\phi \to \phi - \theta/\alpha$ 下的不变性。
• 由 $\varphi_a$ 的运动方程推导出约束 $L_1 = M$（常数），从而得到 $\chi = \Phi / \sqrt{-g} = 2U(\phi)/(M + V(\phi))$。
• 通过 $\bar{g}_{\mu\nu} = \chi g_{\mu\nu}$ 变换至爱因斯坦共形框架，得到具有修正标量势 $V_{\text{eff}}(\phi) = \frac{1}{4U(\phi)}(V(\phi) + M)^2$ 的有效爱因斯坦-希尔伯特作用量。
• 通过引入 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 的两场扩展，构建复合有效势 $V_{\text{eff}} = \frac{(V_1 + V_2 + M)^2}{4(U_1 + U_2)}$，支持暴胀与晚期加速的两个平坦区域。
• 证明该模型在对称性破缺后简化为诱导引力，其有效势与已知成功的暴胀模型一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不于拉格朗日量层面破缺对称性的前提下，一致地实现广义协变引力理论中的尺度不变性？
• RQ2 标量场如何在保持尺度不变性的同时生成非平凡势能与质量项？
• RQ3 该模型能否自然地同时产生早期宇宙暴胀与现今小的真空能量密度？
• RQ4 辅助标量密度 $\Phi$ 在实现尺度不变性与质量生成中起到何种作用？
• RQ5 两场扩展如何实现从暴胀到当前暗能量主导时期的动态过渡？

主要发现

• 该模型通过标量场 $\phi$ 与指数势 $V(\phi) = f_1 e^{\alpha\phi}$ 和 $U(\phi) = f_2 e^{2\alpha\phi}$ 实现尺度不变性，确保在全局尺度变换下的不变性。
• 自发对称性破缺后，有效势变为 $V_{\text{eff}} = \frac{1}{4f_2}(f_1 + M e^{-\alpha\phi})^2$，在 $\phi$ 较大时呈现平坦区域，且当 $f_1/M < 0$ 时，其最小值处的宇宙学常数为零。
• 有效势在最小值处的二阶导数为 $V''_{\text{eff}} = \frac{\alpha^2}{2f_2}|f_1|^2 > 0$，表明存在一个具有大质量标量激发态的稳定真真空。
• 对称性破缺后，该模型简化为泽的诱导引力框架，确认与已知暴胀模型的一致性。
• 两场扩展导致有效势 $V_{\text{eff}} = \frac{(V_1 + V_2 + M)^2}{4(U_1 + U_2)}$，支持两个不同的平坦区域：一个具有高能量密度（暴胀），另一个具有低能量密度（现今真空能量）。
• 当 $f_2 \gg f_1$ 时，可实现小的现今真空能量，类似于跷跷板机制，使得 $f_1^2 / f_2$ 保持微小而无需微调。