[论文解读] Scaling limits for Hawkes processes and application to financial statistics

Emmanuel Bacry, Sylvain Delattre+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 19被引用 56

一句话总结

本文在观测时域 $T \to \infty$ 的极限下，为多变量霍克斯过程建立了大数定律和功能中心极限定理，推导出基于微观霍克斯模型的金融资产价格的宏观扩散极限。通过分析离散采样增量之间的渐近协变关系，严格刻画了跨时间尺度的埃普斯效应和领先-滞后动态，表明其收敛至一个能再现关键经验性典型事实的扩散过程。

ABSTRACT

We prove a law of large numbers and a functional central limit theorem for multivariate Hawkes processes observed over a time interval $[0,T]$ in the limit $T ightarrow \infty$. We further exhibit the asymptotic behaviour of the covariation of the increments of the components of a multivariate Hawkes process, when the observations are imposed by a discrete scheme with mesh $Δ$ over $[0,T]$ up to some further time shift $τ$. The behaviour of this functional depends on the relative size of $Δ$ and $τ$ with respect to $T$ and enables to give a full account of the second-order structure. As an application, we develop our results in the context of financial statistics. We introduced in a previous work a microscopic stochastic model for the variations of a multivariate financial asset, based on Hawkes processes and that is confined to live on a tick grid. We derive and characterise the exact macroscopic diffusion limit of this model and show in particular its ability to reproduce important empirical stylised fact such as the Epps effect and the lead-lag effect. Moreover, our approach enable to track these effects across scales in rigorous mathematical terms.

研究动机与目标

• 在大 $T$ 的情形下建立多变量霍克斯过程的尺度极限，连接微观事件动态与宏观扩散行为。
• 刻画在不同采样网格与时间偏移配置下，霍克斯过程离散采样增量之间协变关系的渐近行为。
• 将理论结果应用于基于 $d=2n$-维霍克斯过程的金融资产价格微观随机模型，证明其收敛至扩散极限。
• 利用推导出的极限定理，严格追踪跨时间尺度的埃普斯效应与领先-滞后效应。

提出的方法

• 证明了在 $[0,T]$ 上观测的多变量霍克斯过程在 $T \to \infty$ 时的大数定律与功能中心极限定理。
• 在采样网格为 $\Delta$、时间偏移为 $\tau$ 的离散采样方案下，分析增量之间的协变关系，推导其渐近行为，取决于 $\Delta$、$\tau$ 与 $T$ 的相对缩放。
• 使用条件强度表示式 $\lambda_{i,t} = \mu_i + \sum_{j=1}^d \int_{(0,t)} \varphi_{ij}(t-s) dN_{j,s}$ 建模 $d$-维计数过程中的相互激发。
• 将极限定理应用于金融模型，其中资产收益 $S_i = N_{2i-1} - N_{2i}$ 通过具有对称强度的 $2n$-维霍克斯过程定义。
• 推导过程 $T^{-1/2}(S_{1,Tv}, S_{2,Tv})$ 在 $T \to \infty$ 时的宏观扩散极限，证明其收敛至一个由 $\mathbf{Id} - \mathbf{K}$、$\mathbf{\Sigma}$ 和核 $\boldsymbol{\psi}$ 决定的协方差结构的高斯过程。
• 通过核测度 $\widetilde{F}$、$\widetilde{F} \star h$ 和 $\widetilde{F} \star g$ 的卷积计算渐近协变函数 $C_{11}(\Delta,\tau)$ 与 $C_{12}(\Delta,\tau)$，并应用卷积恒等式 $\gamma_\Delta \star \nu \star \check{\mu}(\tau)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $T \to \infty$ 时，多变量霍克斯过程的离散采样增量之间的协变关系在 $\Delta$ 与 $\tau$ 的相对缩放下如何渐近表现？
• RQ2 用于在tick网格上建模金融资产价格动态的 $2n$-维霍克斯过程的宏观扩散极限是什么？
• RQ3 高维金融高频数据中的埃普斯效应与领先-滞后效应能否从微观霍克斯模型中严格推导并跨时间尺度追踪？
• RQ4 霍克斯过程的条件强度结构如何导致金融收益中的微观结构噪声与跨资产依赖性？

主要发现

• 过程 $T^{-1/2}(S_{1,Tv}, S_{2,Tv})$ 在分布上收敛至高斯过程 $\bigl( Y_1 - Y_2, Y_3 - Y_4 \bigr)$，其中 $Y_v = (\mathbf{Id} - \mathbf{K})^{-1} \mathbf{\Sigma}^{1/2} W_v$。
• 收益过程 $S_1$ 与其时间偏移版本 $S_{1,\tau+\cdot}$ 之间的渐近协方差 $C_{11}(\Delta, \tau)$ 为 $\int_{[0,\infty)^2} \gamma_\Delta(t-s-\tau) \cdot 2a_{11}(ds,dt)$，其中 $a_{11}(ds,dt) = \nu_1 \widetilde{F}(ds)\widetilde{F}(dt) + \nu_2 (\widetilde{F} \star h)(ds)(\widetilde{F} \star h)(dt)$。
• 在 $S_1$ 与 $S_2$ 之间的交叉协变 $C_{12}(\Delta, \tau)$ 为 $\int_{[0,\infty)^2} \gamma_\Delta(t-s-\tau) \cdot 2a_{31}(ds,dt)$，其中 $a_{31}(ds,dt) = \nu_2 \widetilde{F}(ds)(\widetilde{F} \star h)(dt) + \nu_1 (\widetilde{F} \star g)(ds)\widetilde{F}(dt)$。
• 埃普斯效应与领先-滞后效应在极限中自然出现：在微观尺度（$\Delta \to 0$）下，收益之间的相关性趋于零，但在粗尺度下趋于稳定，与经验观察一致。
• 极限过程捕捉了微观结构噪声，其中价格跳变更可能伴随反转，这是由于强度核的自激发与对称性所致。