[论文解读] Schubert varieties and distances between subspaces of different dimensions

Ke Ye, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 6

一句话总结

本文通过在Grassmann流形内定义点到Schubert簇的距离，提出了一种将Grassmann距离自然推广至不同维数子空间的扩展方法。该距离推广了标准Grassmann距离，可通过SVD计算，且不依赖于环境空间嵌入，为非等维子空间提供了一种几何一致且数值稳定的度量。

ABSTRACT

We resolve a basic problem on subspace distances that often arises in applications: How can the usual Grassmann distance between equidimensional subspaces be extended to subspaces of different dimensions? We show that a natural solution is given by the distance of a point to a Schubert variety within the Grassmannian. This distance reduces to the Grassmann distance when the subspaces are equidimensional and does not depend on any embedding into a larger ambient space. Furthermore, it has a concrete expression involving principal angles, and is efficiently computable in numerically stable ways. Our results are largely independent of the Grassmann distance --- if desired, it may be substituted by any other common distances between subspaces. Our approach depends on a concrete algebraic geometric view of the Grassmannian that parallels the differential geometric perspective that is well-established in applied and computational mathematics.

研究动机与目标

• 解决在不同维数子空间之间定义几何一致距离的根本性问题。
• 将仅适用于等维子空间的标准Grassmann距离推广至更一般的非等维子空间情形。
• 提供一种不依赖于环境空间嵌入和坐标选择的距离度量，其基础源于代数几何。
• 建立包含关系与反包含关系之间的体积对偶性，将概率与Grassmann流形上的几何联系起来。
• 提供一种计算稳定、基于SVD的方法，且在等维情况下退化为经典的Grassmann距离。

提出的方法

• k维子空间A与l维子空间B（k ≤ l）之间的距离定义为A到B中所有k维子空间的集合（即Schubert簇）的最短距离，或等价地，定义为B到包含A的所有l维子空间的集合的最短距离。
• 该距离被计算为Gr(k,n)流形内点到Schubert簇的测地距离，利用了Grassmann流形的代数几何结构。
• 该方法使用正交投影和主角，将距离表达为矩阵乘积的奇异值，从而可通过SVD实现高效且数值稳定的计算。
• 该方法将子空间及其关联关系嵌入对称幂等矩阵空间，使得可在Grassmann流形上应用黎曼几何与体积形式。
• 论文推导出一种体积对偶性：随机l维子空间包含A的概率，等于随机k维子空间被B包含的概率，二者均仅依赖于k、l、n。
• 该构造不依赖于正交基的选择，且无需将子空间嵌入更高维空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将等维子空间之间的Grassmann距离自然地推广至不同维数的子空间？
• RQ2 Grassmann流形中与非等维子空间之间距离相对应的几何对象是什么？
• RQ3 是否存在一种距离度量，当子空间为等维时退化为标准Grassmann距离，并在坐标变换下保持不变？
• RQ4 能否使用标准数值线性代数工具稳定高效地计算非等维子空间之间的距离？
• RQ5 Grassmann流形中包含概率与几何距离之间存在何种关系？

主要发现

• k维子空间A与l维子空间B（k ≤ l）之间的距离定义为A到B中所有k维子空间构成的Schubert簇的测地距离，且该值等于B到所有包含A的l维子空间构成的Schubert簇的距离。
• 该距离推广了标准Grassmann距离：当k = l时，其精确退化为通过主角和SVD定义的经典Grassmann距离。
• 该距离不依赖于正交基的选择，且不依赖于任何嵌入到更高维环境空间的设定，确保了坐标不变性。
• 该距离可通过奇异值分解高效计算，其具体表达式涉及子空间之间主角的函数。
• 固定l维子空间中所有k维子空间构成的Schubert簇的相对体积，等于固定k维子空间中所有l维子空间构成的Schubert簇的相对体积，其公共值由伽马函数与二项式系数的闭式表达式给出。
• 随机l维子空间包含A的概率，等于随机k维子空间被B包含的概率，且该概率仅依赖于k、l和n，与子空间A和B的具体形式无关。