[论文解读] Searching for new physics with profile likelihoods: Wilks and beyond

Sara Algeri, J. Aalbers+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 35被引用 11

一句话总结

本文識別了五個關鍵條件——大樣本量、內部參數值、可辨識參數、嵌套模型以及正確設定的似然函數——在這些條件下，威爾克斯定理可保證在高能物理實驗中，對輪廓似然比檢驗統計量使用卡方近似。當這些條件不成立時，作者提出針對性的解決方案，包括高階漸近分析、邊界修正、LEE修正、模型嵌套、譜系參數調整以及非參數方法，確保即使在複雜實驗設定下，統計推斷依然有效。

ABSTRACT

Particle physics experiments use likelihood ratio tests extensively to compare hypotheses and to construct confidence intervals. Often, the null distribution of the likelihood ratio test statistic is approximated by a $χ^2$ distribution, following a theorem due to Wilks. However, many circumstances relevant to modern experiments can cause this theorem to fail. In this paper, we review how to identify these situations and construct valid inference.

研究动机与目标

• 釐清威爾克斯定理在高能物理實驗中成立所需的必要正則條件。
• 識別現代粒子物理中常見的場景，即似然比檢驗的卡方近似失效之處。
• 當標準漸近近似失效時，提供實用且依賴模型的解決方案。
• 引導研究人員在正則條件違反時，選擇適當的推斷方法——如模擬、修正或非參數技術。
• 即使在模型或數據受限的情況下，亦促進可靠假設檢驗與信賴區間建構，特別是在新物理搜尋中。

提出的方法

• 回顧並形式化威爾克斯定理的五個必要條件：漸近樣本量、內部參數值、可辨識參數、嵌套模型以及正確設定的似然函數。
• 當樣本量較小時，提出高階漸近展開作為替代方案，提供比標準卡方分配更佳的近似。
• 針對真實參數值位於參數空間邊界的情況，應用基於陳納夫（Chernoff）、塞爾夫（Self）與梁（Liang）理論的邊界修正。
• 引入LEE（尋找其他處效應）修正，以降低當干擾參數不可辨識時的計算成本。
• 建構一個綜合模型，將競爭假設納入其中作為特例，進而使非嵌套模型情境下的有效似然比檢驗成為可能。
• 當參數模型假設失效時，特別是在模型設定錯誤時，使用蒙地卡羅模擬與非參數方法作為備用方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，威爾克斯定理無法為輪廓似然比檢驗統計量提供有效的卡方近似？
• RQ2 當真實參數值位在參數空間邊界時，統計推斷應如何維持有效性？
• RQ3 在似然比檢驗中，如何在不產生過高計算成本的情況下，修正干擾參數不可辨識的問題？
• RQ4 當模型非嵌套或似然函數設定錯誤時，應如何進行假設檢驗？
• RQ5 在何種情況下，額外的干擾參數可恢復卡方近似的有效性？又在何種情況下必須使用非參數推斷？

主要发现

• 當樣本量不足時，威爾克斯定理會導致卡方近似品質下降；建議改用高階漸近分析或蒙地卡羅模擬作為替代。
• 當真實參數值位於參數空間邊界時，標準p值會過於樂觀；基於陳納夫與塞爾夫-梁理論的邊界修正可恢復有效性。
• 不可辨識的干擾參數可透過LEE修正處理，此方法在維持統計一致性之餘，大幅減少所需模擬次數。
• 對於非嵌套模型，若能建構一個包含兩者為特例的綜合模型，則可實現有效的似然比檢驗。
• 即使在低計數情境下，增加干擾參數亦可改善卡方近似效果，如在效率不確定的泊松計數實驗中所示。
• 當模型設定錯誤嚴重時（例如，以雙指數模型擬合功率法則），非參數方法為必要選擇，因干擾參數無法修正結構性模型錯誤。