[论文解读] Second order Lax pairs of nonlinear partial differential equations with Schwarz variants

Sen‐Yue Lou, Xiaoyan Tang+2 more|ArXiv.org|Aug 24, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用 8

一句话总结

本文证明了所有具有 Schwarz 不变量的 (1+1) 维非线性偏微分方程均具有二阶 Lax 对，通过 Möbius 变换将其与共形不变性联系起来。作者为 KdV、Harry Dym 和 CDGSK 等关键可积方程显式构造了 Lax 对，表明即使在原始算子中不明显，也可通过对称变换重新引入谱参数。

ABSTRACT

In this paper, we study the possible second order Lax operators for all the possible (1+1)-dimensional models with Schwarz variants and some special types of high dimensional models. It is shown that for every (1+1)-dimensional model and some special types of high dimensional models which possess Schwarz variants may have a second order Lax pair. The exiplicit Lax pairs for (1+1)-dimensional Korteweg de Vries equation, Harry Dym equation, Boussinesq equation, Caudry-Dodd-Gibbon-Sawada-Kortera equation, Kaup-Kupershmidt equation, Riccati equation, (2+1)-dimensional breaking soliton equation and a generalized (2+1)-dimensional fifth order equation are given.

研究动机与目标

• 确定具有 Schwarz 不变量的 (1+1)-维非线性 PDE 是否可关联到二阶 Lax 对。
• 建立一种系统化方法，从共形不变量和 Schwarz 导数构造 Lax 对。
• 利用对称变换恢复 Lax 算子中非平凡的谱参数，尤其针对谱参数不明显可见的模型。
• 将该框架扩展至某些 (2+1)-维模型，如断裂孤子方程。
• 探讨 Lax 对、可积性与其他结构（如 Bäcklund 变换和守恒律）之间的联系。

提出的方法

• 定义五个基本共形不变量（p₁ 至 p₅），源自函数 φ(x,t)，包括 Schwarz 导数和时间导数。
• 通过 ψxx = uψx + vψ 和 ψt = u₁ψx + v₁ψ 构造二阶 Lax 对，其中 u, v, u₁, v₁ 为待定函数。
• 通过 ϕ = ψ₁/ψ₂ 将 Lax 对与 Schwarz 形式关联，确保所得方程满足 F(p₁,…,p₅) = 0。
• 推导 Lax 系数（u, v, u₁, v₁）与共形不变量（P₁ 至 P₅）之间的显式关系，实现直接构造。
• 利用点 Lie 对称性（如伽利略变换）和高阶对称性，将谱参数重新引入 Lax 对。
• 通过推导 KdV、HD、CDGSK 等方程的已知 Lax 对验证该方法，确认与现有结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个具有 Schwarz 不变量形式的 (1+1)-维非线性 PDE 都可关联到一个二阶 Lax 对？
• RQ2 如何从共形不变量及其导数系统化地构造 Lax 对？
• RQ3 对称变换在恢复 Lax 算子中非平凡谱参数的过程中起什么作用？
• RQ4 该二阶 Lax 对框架在多大程度上可扩展至 (2+1)-维可积系统？
• RQ5 所得 Lax 对如何与 Bäcklund 变换和守恒律等其他可积性结构相关联？

主要发现

• 所有具有 Schwarz 不变量的 (1+1)-维模型均存在二阶 Lax 对，该结论对任意满足 F(p₁,…,p₅) = 0 的函数均成立。
• 为 KdV、Harry Dym、Boussinesq、CDGSK、Kaup-Kupershmidt、Riccati 以及 (2+1)-维断裂孤子方程显式构造了二阶 Lax 对。
• 可通过对称变换（如 KdV 方程的伽利略提升）将谱参数重新引入 Lax 对，从而获得标准 Lax 对形式（含 λ）。
• 对于 CDGSK 方程，利用高阶对称性和特殊解 ψ₁ 恢复了非平凡谱参数，得到一个含参数 λ 的复杂数学上有效的 Lax 对。
• 该方法可推导出 KdV、HD、CDGSK 和 KK 等可积模型的无穷多非局部对称性，即使未显式包含谱参数亦可实现。
• 该框架可推广至某些 (2+1)-维模型（如断裂孤子方程），但推广至任意高维仍为开放问题。