[论文解读] Second order Lyapunov exponents for parabolic and hyperbolic Anderson models

Raluca M. Balan, Jian Song|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Random Matrices and Applications被引用 5

一句话总结

本文建立了在任意维度 $d$ 下，由时间白噪声、空间平稳高斯噪声驱动的双曲与抛物型安德森模型之间第二阶李雅普诺夫指数的深度分析关联。通过利用能量泛函的统一变分公式与标度性质，作者在两种空间协方差结构下推导出两个模型的上第二阶李雅普诺夫指数的精确表达式：(i) 非负局部可积谱测度；(ii) 在 $d=1$ 下的分数布朗运动，且 $1/4 < H < 1/2$，将近期针对抛物情形的结果扩展至双曲情形。

ABSTRACT

In this article, we consider the hyperbolic and parabolic Anderson models in arbitrary space dimension $d$, with constant initial condition, driven by a Gaussian noise which is white in time. We consider two spatial covariance structures: (i) the Fourier transform of the spectral measure of the noise is a non-negative locally-integrable function; (ii) $d=1$ and the noise is a fractional Brownian motion in space with index $1/4

研究动机与目标

• 计算任意空间维度 $d$ 下双曲型安德森模型的第二阶（上）李雅普诺夫指数。
• 建立双曲与抛物型安德森模型解的二阶矩的拉普拉斯变换之间的显著相似性。
• 统一计算两种模型在两种空间协方差结构下的第二阶李雅普诺夫指数：(i) 非负局部可积谱测度；(ii) 在 $d=1$ 下的分数布朗运动，且 $1/4 < H < 1/2$。
• 通过变分方法与能量泛函的标度性质，将近期关于抛物模型的结果推广至双曲情形。

提出的方法

• 利用拉普拉斯变换与能量泛函 $\mathcal{E}(f,A)$，推导解的二阶矩的变分表示。
• 利用 Riesz 类型协方差 $f(x) = |x|^{-\alpha}$（其中 $0 < \alpha < 2$）下的标度性质 $\mathcal{E}(\theta f) = \theta^{2/(2-\alpha)} \mathcal{E}(f)$，以及分数噪声下指数 $H \in (1/4, 1/2)$ 的 $\mathcal{E}(\theta \Gamma) = \theta^{1/H} \mathcal{E}(\Gamma)$。
• 通过共同的变分结构，建立双曲与抛物模型的二阶矩拉普拉斯变换之间的等价性。
• 通过利用共享的能量泛函与标度行为，将 [16] 中用于抛物模型的方法应用于双曲情形。
• 使用傅里叶分析与分布正则化处理 $d=1$ 下的分数布朗运动噪声情形，其中谱测度 $\mu(d\xi) = c_H |\xi|^{1-2H} d\xi$ 并非函数。
• 证明标度恒等式 $\mathcal{E}_2(\theta \Gamma) = \theta^{1/H} \mathcal{E}_2(\Gamma)$，并通过 $\mathcal{E}_2(\Gamma) = 2^{-(1-H)/H} \mathcal{E}(\Gamma)$ 将 $\mathcal{E}_2(\Gamma)$ 与 $\mathcal{E}(\Gamma)$ 关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时间白噪声、空间平稳高斯噪声下，任意维度 $d$ 的双曲型安德森模型的第二阶李雅普诺夫指数是多少？
• RQ2 在相同噪声条件下，双曲与抛物型安德森模型的二阶矩拉普拉斯变换如何比较？
• RQ3 当空间协方差由 Riesz 核 $f(x) = |x|^{-\alpha}$（其中 $0 < \alpha < 2$）给出时，能否使用统一的变分方法计算两种模型的第二阶李雅普诺夫指数？
• RQ4 能量泛函 $\mathcal{E}(f,A)$ 在空间协方差变换下表现出何种标度行为？该行为如何实现精确指数的计算？
• RQ5 当噪声为 $d=1$ 下的分数布朗运动，且指数 $H \in (1/4, 1/2)$ 时，双曲模型的第二阶李雅普诺夫指数如何表现？

主要发现

• 通过变分公式 $\mathcal{E}(f,A)$ 精确计算出双曲型安德森模型的第二阶李雅普诺夫指数，将已知的抛物情形结果推广。
• 对于 Riesz 核协方差 $f(x) = |x|^{-\alpha}$（其中 $0 < \alpha < 2$），第二阶李雅普诺夫指数按 $\theta^{2/(2-\alpha)} \mathcal{E}(f)$ 标度，其中 $\mathcal{E}(f)$ 为能量泛函。
• 在 $d=1$ 下分数布朗运动噪声且 $H \in (1/4, 1/2)$ 的情形下，第二阶李雅普诺夫指数按 $\theta^{1/H} \mathcal{E}(\Gamma)$ 标度，其中 $\Gamma$ 为谱分布。
• 双曲模型的能量泛函 $\mathcal{E}_2(f)$ 满足 $\mathcal{E}_2(\theta f) = \theta^{1/H} \mathcal{E}_2(f)$，且 $\mathcal{E}_2(\Gamma) = 2^{-(1-H)/H} \mathcal{E}(\Gamma)$，通过标度关系将两个模型联系起来。
• 在相同噪声与协方差结构下，双曲与抛物模型的二阶矩拉普拉斯变换被证明完全相同，揭示了其深层结构相似性。
• 该方法统一了两种模型第二阶李雅普诺夫指数的计算，为一大类空间协方差提供了通用框架。